Теория вероятностей, задачи по 7-ми темам

Решение Обозначим: событие А – в результате трех выстрелов произошло только одно попадание. Событие А состоит в выполнении одного из трех событий:
А1 – попадание при первом выстреле, два другие выстрела – промахи;
А2 – попадание при втором выстреле, два другие – промахи;
А3 – попадание при третьем выстреле, два другие – промахи.
Вероятность попадания р=0.5, вероятность промаха q=1-0.5=0.5. По формуле умножения вероятностей независимых событий находим
.
И по теореме сложения вероятностей несовместных событий находим
.
Ответ: 0.375.

Тема 3.1. Случайные события
830. В ящике а белых, b черных и с синих шаров. Вынули один шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; 3) синий; 4) белый или черный; 5) белый или синий; 6) черный или синий.
832. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна р1, а вторым стрелком – р2. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой – не попадет?
834. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?
836. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны 1) два мальчика; 2) две девочки; 3) девочка и мальчик?
838. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0.5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
Тема 3.2. Повторение испытаний
844. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше трех раз?
845. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?
846. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?
853. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0.94 и 0.8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
854. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равна 0.6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.
Тема 3.3. Случайные величины
863. Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией)
F(x)=
Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1.5;2.5) и (2.5;3.5).
864. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x)=
Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1;2.5) и (2.5;3.5).
866. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить ряд распределения числа попаданий.
868. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью
f(x)=
Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) найти вероятность попадания случайной величины Х на участок (а/2, а); 3) построить график распределения плотности вероятности.
875. Дана функция
f(x)=
При каком значении функция f(x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины Х? Определить это значение , найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответствующей случайной величины Х.
Тема 3.4. Закон больших чисел.
928. В результате 200 независимых опытов найдены значения случайной величины x1,x2,...,x200, , причем M(X)=D(X)=2 . Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим значений случайной величины и математическим ожиданием меньше 1/5.
Тема 3.5. Вариационные ряды
953. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной распределением
Х 9.8 9.9 10 10.1 10.2

nx 1 5 8 4 2
Тема 3.6. Проверка статистических гипотез.
Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй — 80, третий – 100 деталей. Можно ли на уровне значимости а = 0,01 принять гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего рабочего?
Тема 3.7. Элементы теории корреляции.
946. Дана корреляционная таблица для величин Х и Y, где Х – стрела кривизны рельса в сантиметрах, а Y – количество дефектов рельса (в сантиметрах на 25-метровый рельс):

0 5 10 15 20
7.0 2
7.5 1 1 1 1
8.0 1 1
8.5 2
9.0 2 1 1 3
9.5 2
10.0 3 2 4 3 3
10.5 4 5 1 3 1
11.0 3 3 2 6
11.5 3 5 1 9
12.0 5 3 6 4 4
12.5 1 1 3 10 6
13.0 1 1 4 5
13.5 1 1 1 6
14 2 1 3
14.5 2 1
15.0
15.5 1 1
16.0 3

Определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.

Работа выполнена в Word, была проверена и зачтена без доработок. Содержит задачи по семи темам курса теории вероятностей.