Исследование устойчивости САР Для САР с единичной отрицательной обратной связью

Для получения передаточной функции по ошибке представим заданную систему (рис.12)

Рис.12
следующим образом (рис.13)

Рис.13
Тогда передаточная функция по ошибке, в соответствии с правилом вычисления передаточных функций соединения с отрицательной обратной связью, получится как .
Подставляя параметры звеньев и приводя к общему знаменателю, получаем

Wep=0,00191p3+5,56p2+2,78p0,000272p4+0,00791p3+0,0594p2+0,528p+1

Полином знаменателя передаточной функции является характеристическим уравнением системы. Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида задающего воздействия, ни от начальных условий, а определяются только соотношением коэффициентов характеристического уравнения, то есть параметрами самой системы. А, следовательно, и характер переходного процесса определяется видом корней характеристического уравнения. В устойчивой системе все корни уравнения должны иметь отрицательную вещественную часть.
Характеристический полином замкнутой САР:
Dp=Rp+Q(p)
R(p) – числитель передаточной функции разомкнутой системы
Q(p) – знаменатель передаточной функции разомкнутой системы
Dp=0,000272p4+0,00791p3+0,0594p2+0,528p+1
Dp=a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4

2. Оценим устойчивость системы по критерию Гурвица

Главный определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения следующим образом:
,
Определители Гурвица низших порядков получаются из главного определителя, как его диагональные миноры.
,...
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n определителей Гурвица были положительны при положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Определение устойчивости по критерию Гурвица

Характеристическое уравнение замкнутой САР:
0,000272p4+0,00791p3+0,0594p2+0,528p+1=0
a0=0,000272
a1=0,00791
a2=0,0594
a3=0,528
a4=1

Определитель Гурвица:
H=a1a000a3a2a1a00a4a3a2000a4=0,007910,000272000,5280,05940,0079110,000272010,5280,05940001

Критерий устойчивости Гурвица: чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно при a0>0 иметь положительными все диагональные определители, получаемые из определителя Гурвица.
∆1=a1=0,00791>0
∆2=a1a3a0a2=0,00033>0
∆3=a1a30a0a2a40a1a3=0,00011>0
∆4=a1a000a3a2a1a00a4a3a2000a4=0,00011>0

Так как все диагональные определители больше нуля, то система устойчива.

Система находится на границе устойчивости, если определитель n=0 (4=0)

1.5 Исследование устойчивости САР
Для САР с единичной отрицательной обратной связью и исходными данными п.1.3:
получить передаточную функцию замкнутой САР по ошибке и ее характеристический полином;
исследовать устойчивость замкнутой САР алгебраическим методом и определить граничное значение коэффициента усиления разомкнутой системы Кгр , при котором САР находится на колебательной границе устойчивости;
Исследовать устойчивость САР по критерию Михайлова ( в графической и аналитической форме), а также частотным методом, используя построенные в задаче 1.3 частотные характеристики (по критерию Найквиста)
найти характеристические корни и по ним проверить свойство устойчивости САР