Определение производственного плана предприятия при наличии различных критериев

ВВЕДЕНИЕ 3
1. Построение соответствующих экономико-математических моделей. 5
2. Решение однокритериальной задачи ЛП с целевой функцией «Выручка» симплекс-методом. Послеоптимизационный анализ. 6
3. Графическое решение задачи с функцией «прибыль» 9
4. Решить две однокритериальные задачи 12
4.1. План производства с максимальной выручкой 12
4.2. Решение задачи с параметром в векторе ограничений 17
5. Геометрическая интерпретация множества допустимых планов и достижимого множества 19
6. Решение многокритериальной задачи 20
6.1. Метод свертки критерия 20
6.2. Метод главного критерия 22
6.3. Метод последовательных уступок 23
7. Сводная таблица 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 29
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 30
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 31

2. Решение однокритериальной задачи ЛП с целевой функцией «Выручка» симплекс-методом. Послеоптимизационный анализ.
C(x)=12x1+16x2+16x3→max
;
Приведем систему к канонической форме:

Решим вспомогательную задачу:
(x)= -x6→max
C∂
Базис
A0=b
0
0
0
0
0
-1

A1
A2
A3
A4
A5
A6
0
A4
39
4
1
3
1
0
0
0
A5
48
2
4
4
0
1
0
-1
A6
31
3
2
5
0
0
1
C(x)/∆j
-31
-3
-2
-5
0
0
0
0
A4
20,4
2,2
-0,2
0
1
0
-0,6
0
A5
23,2
-0,4
2,4
0
0
1
-0,8
0
A3
6,2
0,6
0,4
1
0
0
0,2
C(x)/∆j
0
0
0
0
0
0
1

= [0; 0; 6,2;20,4;23,2;0] – этот план является оптимальным для вспомогательной задачи.
...

3. Графическое решение задачи с функцией «прибыль»
Требуется решить однокритериальную задачу ЛП с целевой функцией «прибыль» геометрически.
C3(x)=6x1+5x2+x3→max

Для решения задачи выражаем :

Подставляем значение в целевую функцию:
C3(x)=(30х1+25х2+31-3х1-2х2):5→max
C3(x)=(27х1+23х2+31):5→max
C3(x)=5,4х1+4,6х2+6,2→max
Подставляем значение в систему:

Получаем:
C3(x)=5,4х1+4,6х2+6,2→max

1)
Х1=0; Х2= -102
Х1=9 ; Х2=0
2)
Х1=0; Х2=9
Х1= -58 ; Х2=0
3)
Х1=0; Х2= 15,5
Х1=10 ; Х2=0
Grad С3(х)=(5,4;4,6)
График находится в Приложении 1.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
-x1+6x2=58
3x1+2x2=31
Решив систему уравнений, получим: x1 = 3.5, x2 = 10.25
X* (3,5;10,25;0)
C(X*) = 5.4*3.5 + 4.6*10.25 + 6.2 = 72.25

4. Решить две однокритериальные задачи
4.1.
...

4. Решить две однокритериальные задачи при следующих условиях:
4.1 Цена каждой единицы изделия (Cj, j=1,2,3) может изменяться, причём эти изменения определяются соотношениями:


Где – некоторый параметр. Для каждого из возможных значений цены изделий найти план производства (не обязательно целочисленный), при котором суммарная выручка была бы максимальной.
5. Дать геометрическую интерпретацию множества допустимых планов и достижимого множества для вариантов А и В.
6. Решить МКЗ заданными методами. В методе свёртки критериев проанализировать, как изменяется производственный план при изменении весовых коэффициентов. В методе последовательных уступок необходимо проанализировать, как изменяется парето-оптимальное решение при изменении величины уступки.
7. Свести результаты решения МКЗ в таблицу, в которой указать: метод решения, полученный данным методом план, значения себестоимости, выручки и прибыли, вычисленные на полученном плане.
...

4.1. План производства с максимальной выручкой
Цена каждой единицы изделия (сj, j=1,2,3) может изменяться, причем эти изменения определяются соотношениями:
; ; ,
где λ-некоторый параметр. Для каждого из возможных значений цены изделий найти план производства (не обязательно целочисленный). При котором суммарная выручка была бы максимальной.
Наша целевая f(x)- коэффициент при x-цен; λ-изменчивость цен

;
Каноническая форма


Решим вспомогательную задачу.
...

4.2. Решение задачи с параметром в векторе ограничений
C(x)=12x1+16x2+16x3→max

Переведем систему уравнений в каноническую форму

Решим вспомогательную задачу.

C∂
Базис
A0=b
0
0
0
0
0
-1

A1
A2
A3
A4
A5
A6
0
A4
39
2μ
4
1
3
1
0
0
0
A5
48
-μ
2
4
4
0
1
0
-1
A6
31
0μ
3
2
5
0
0
1

C(x)/∆j
-31
0μ
-3
-2
-5
0
0
0
0
A4
20,4
2μ
2,2
-0,2
0
1
0
-0,6
0
A5
28
-μ
-0,4
2,4
0
0
1
-0,8
0
A3
6,2
0μ
0,6
0,4
1
0
0
0,2

C(x)/∆j
0
0μ
0
0
0
0
0
1
=(0; 0; 6,2; 20,4+2μ; 23,2-μ; 0) – этот план является оптимальным для вспомогательной задачи.
Перейдем к решению основой задачи.

C∂
Базис
A0=b
12
16
16
0
0

A1
A2
A3
A4
A5
0
A4
20,4
2μ
2,2
-0,2
0
1
0
0
A5
28
-μ
-0,4
2,4
0
0
1
16
A3
6,2
0μ
0,6
0,4
1
0
0

C(x)/∆j
99,2
0
-2,4
-9,6
0
0
0
0
A4

2μ
2
0
0
1
1/12
16
A2
11
-5/12μ
-1/6
1
0
0
5/12
16
A3
1
1/6μ
2/3
0
1
0
-1/6

C(x)/∆j
211,2
-4μ
40
0
0
0
4
Х*=(0, 11-5/12μ; 1+1/6μ;0;0)
;
Если є [; 28], то оптимальный план Х*=(0, 11-5/12μ; 1+1/6μ;0;0), С(x*)=207,2
Если є (28;), то оптимального плана нет.
...

6.1. Метод свертки критерия
Функция свёртки:
F(x) = 1*f1+2*f2
1, 2≥0
1+2=1
1) Возьмем 1=2=1/2. Это значит, что приоритеты у себестоимости и прибыли одинаковые. Тогда:
F(x)= (6x1+5x2+x3) (-6x1-11x2-15x3)= 3x1 + 2,5x2 + 0,5x3 - 3x1 – 5,5x2 – 7,5x3 = -3x2 - 7x3
Система ограничений не меняется, тогда:

С помощью «поиск решений» MS Excel получен оптимальный план:
Оптимальный план можно записать так:
Х1* = (9,4;1,4;0)
С1(х1*)=6*9,4+5*1,4+0=56,4+7=63,4
С2(х1*)= -6*9,4-11*1,4-15*0=-56,4-15,4=-71,8
2) Возьмем коэффициенты, при которых приоритет у прибыли будет меньше, чем у себестоимости, т.
...

7. Сводная таблица
Название метода
Значение параметров
Оптимальный план Х*
Прибыль
Себестоимость
Метод свёртки критериев
α1=1/2;
α2=1/2.
Х*= (9,4;1,4;0)
C1(x)= 63,1
C2(x)= -71,8

α1=0,2;
α2=0,8
Х*= (9 ;0; )
C1(x)= 56
C2(x)= -65

α1=0,7;
α2=0,3
Х*= (9,4;1,4;0)
C1(x)= 63,1
C2(x)= -71,8
Метод главного критерия
d=-71
Х*= (9 ; 1; )
C1(x)=
C2(x)= -71

d=-69
Х*= (9 ; ; )
C1(x)=
C2(x)= -69

d=-66
Х*= (9 ; ; )
C1(x)=
C2(x)= -66
Метод последовательных уступок
h=1,4
Х*= (;; )
C1(x)=62
C2(x)=-70,5

h=3,4
Х*=(;; )
C1(x)=60
C2(x)=

h=5,4
Х*=(;; )
C1(x)=58
C2(x)=
В методе свёртки критериев мы видим, что при равной значимости критериев мы имеем тот же ответ, что и при решении однокритериальных задач. Прибыль составляет 31 тысячу рублей при максимальной прибыли 63,1 тысяч рублей. Издержки составляют 71,8 тысяч рублей. Как при приоритетности первого критерия (выручка), так и при равенстве критериев структура плана и сам план не меняются, следовательно, не меняются значения выручки и себестоимости.
...

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Найденышева Е.Г. Математические методы в экономике: учеб. пособие / Е.Г. Найденышева. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. – 56 с
2. Найденышева Е.Г. Математические методы в экономике: вопросы и ответы: учеб. пособие / Е.Г. Найденышева. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2017. – 112 с.
3. Кутузов А.Л. Математические методы в экономике и менеджменте. Практикум по использованию прикладных программ QSB+, QS и программы Exel: Учеб. пособие СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. – 44с.
4. Юрьев В.Н., Кузьменков. В.А. Методы оптимизации в экономике и менеджменте 2-е изд., испр. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2015. — 540 с.
...