Построение оптимальных инвестиционных портфелей в многошаговой задаче c Value at Risk (VaR) ограничением на промежуточные значения капитала

Содержание
Введение 4
Глава 1. Постановка и решение одношаговой задачи
построения оптимального портфеля. 8
1.1. Постановка одношаговой задачи. 8
1.2. Решение одношаговой задачи. 10
1.3. Пример решения одношаговой задачи оптимизации инвестиционного
портфеля. 16
Глава 2. Определение и решение многошаговой задачи построения
оптимального портфеля. 19
2.1 Постановка многошаговой задачи. 19
2.2. Решение многошаговой задачи. 20
2.3. Численный пример расчёта оптимальных портфелей для многошаговой
задачи. 26
Заключение 32
Список источников 33
Приложение 34

Введение
За последние несколько лет значительно увеличился интерес людей к инвестициям: распределению своего капитала среди каких-либо ценных бумаг с целью получения прибыли. Так, например, по сравнению с 2012 годом количество индивидуальных инвесторов в России увеличилось вдвое. С одной стороны, инвестиции – это простой, не требующий каких-либо усилий, способ увеличения дохода. C другой стороны, необдуманные инвестиционные решения могут повлечь за собой потерю большой части капитала инвестора или даже привести, в случае крупной компании, к банкротству. Основная цель инвестора – получить прибыль с помощью инвестиций. Однако инвестору приходится учитывать риски, возникающие во время процесса инвестирования. В результате стремления увеличить прибыль, минимизировав при этом риски и связанные с ними убытки, были созданы инвестиционные портфели: ценные бумаги или активы, собранные по определенной инвестиционной стратегии, которыми управляет инвестор. В связи с этим в последнее время область исследования способов построения оптимальных инвестиционных портфелей становится всё более актуальной, рассматривается все больше и больше вариантов построения оптимального портфеля в различных условиях. В поиске таких портфелей заинтересованы как начинающие инвесторы, так и крупные инвестиционные компании. Первые чаще всего заинтересованы лишь в итоговом доходе, поэтому им могут подойти простые портфели, предлагаемые им различными брокерами. Крупным компаниям с длинным горизонтом инвестиций, наоборот, необходимо учитывать различные ограничения на промежуточную стоимость капитала, чтобы не потерять значительную часть своих финансов на одном из этапов. Более того, такие компании всегда должны учитывать возможность банкротства при выборе той или иной инвестиционной стратегии.
В данной работе рассматривается стратегия построения оптимальных инвестиционных портфелей, где в качестве ограничения на промежуточные значения капитала рассматривается VaR ограничение, а также учитывается вероятность разорения. VaR, также известное как квантильное ограничение, в наши дни является одним из самых распространенных ограничением в портфельной теории, после работы [1], в которой мерой риска является дисперсия капитала. VaR ограничение определяет максимальную сумму, которую стоимость портфеля может потерять за некоторый период с заданной вероятностью в результате изменений рыночных цен. Под банкротством в нашем случае будем понимать падение значения капитала инвестора на каком-то шаге ниже определенного значения. В состоянии банкротства инвестор не может более заключать сделки и значение его капитала на момент банкротства будет финальным значением капитала.
Похожая задача с тем же ограничением, но без учета вероятности разорения рассматривалась в [2], однако банкротство играет значительную роль в построении инвестиционной стратегии. Стоит отметить, что во многих исследованиях, например [3] и [4], рассматриваются задачи с разрешением на “короткие продажи”: возможность приобрести некоторое количество активов в долг. В данной работе мы будем строить инвестиционную стратегию без коротких продаж, так как они влекут за собой серьезные риски: цена акций, которые берутся взаймы, может вырасти вопреки ожиданиям, и инвестору придется выкупать их по более высокой цене, чтобы вернуть акции брокеру, у которого он их брал. В связи с этим короткие продажи не рекомендованы для начинающих инвесторов и не пользуются популярностью у крупных компаний.
В процессе работы были получены следующие результаты:
• Сформулирована и решена одношаговая задача построения оптимального портфеля при исходных ограничениях. Было доказано, что такая задача сводится к задаче вогнутого программирования. Для такой задачи приведено утверждение для удовлетворения условия регулярности Слейтера, а также применена теорема Куна-Таккера. Сама же задача решена методом множителей Лагранжа;
• Приведен пример решения одношаговой задачи оптимизации, результатом которого является инвестиционный портфель;
• Сформулирована и решена многошаговая задача с теми же ограничениями. Такую задачу было принято рассмотреть как задачу динамического программирования с использованием функций Беллмана, описанных в [5]. Было обнаружено, что такая многошаговая задача сводится к решению определенного количества одношаговых задач, в которых оптимальные портфели зависят только от шага инвестирования;
• Приведен численный пример расчёта оптимальных портфелей исходной многошаговой задачи с использованием данных об акциях реальных трёх компаний при помощи языка Python.

Добрый день! Уважаемые студенты, Вашему вниманию представляется курсовая работа на тему: «Построение оптимальных инвестиционных портфелей в многошаговой задаче c Value at Risk (VaR) ограничением на промежуточные значения капитала и возможностью банкротства»

Оригинальность работы 90

1. Цель работы
Сформулировать и решить одношаговую и многошаговую задачи построения оптимизации портфелей с заданными ограничениями.
2. Формулировка задания
• Сформулировать и решить одношаговую задачу оптимизации портфеля с VaR ограничениями и возможностью банкротства как задачу вогнутого программирования.
• Привести пример вычисления оптимального портфеля в одношаговой задаче
• Сформулировать и решить многошаговую задачу построения оптимальных портфелей c Value at Risk (VaR) ограничением на промежуточные значения капитала и возможностью банкротства как задачу динамического программирования
• Привести численный пример построения оптимальных инвестиционных портфелей в многошаговой задаче на основании реальных данных.

Аннотация
Объектом исследования являются инвестиционные портфели и способы их оптимизации. Цель работы – разработка инвестиционной стратегии для построения оптимальных инвестиционных портфелей в многошаговой задаче c VaR ограничением на промежуточные значения капитала и возможностью банкротства. В процессе работы было принято решение разделить исходную задачу на одношаговую и многошаговую задачу под заданными ограничениями. Было выяснено, что одношаговая задача решается как задача вогнутого программирования, а многошаговая задача может быть разрешена как задача динамического программирования с помощью функций Беллмана. Также в работе приведен пример вычисления портфелей, состоящих из акций трёх реальных компаний, с использованием языка программирования Python. Результаты работы могут быть полезны для компаний с длинным горизонтом инвестиций, индивидуальным инвесторам, а также исследователям портфельной теории, которые будут работать с VaR ограничением.
Abstract
The object of research is investment portfolios and ways to optimize them. The purpose of the work is to develop an investment strategy for constructing optimal investment portfolios in a multistage problem with a VaR constraint on intermediate capital values and the possibility of bankruptcy. It was decided to divide the original problem into a one-stage and multi-stage problem under the given constraints. It was found that a one-stage problem can be solved as a concave programming problem, and a multi-stage problem can be solved as a dynamic programming problem using Bellman functions. The paper also provides an example of calculating optimal portfolios, consisting of the shares of three real companies, using the Python programming language. The results of the work are useful for companies with a long investment horizon, individual investors, as well as portfolio theory researchers who are dealing with VaR constraints.