Методы расчета сложных линейных электрических цепей постоянного и переменного тока

I. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.

II. Расчет линейных электрических цепей переменного тока

1. Метод контурных токов

3. Метод узловых потенциалов

4. Потенциальная диаграмма

5. Система по методу токов ветвей

6. Баланс мощностей

6. Определение показаний ваттметра

5. Записать необходимое количество уравнений для схемы по методу токов ветвей.

I. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.

1. Метод контурных токов
Схема цепи для расчёта представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Для удобства расчетов в схеме преобразуем источник тока Ik3 в источник ЭДС. При этом Еk3 =Ik3R3. Теперь в третьей ветви имеем 2 источника ЭДС, направленных в одну сторону (рис.1.2). Просуммируем их и в результате получим:

Выберем произвольно направление токов в ветвях от I1 до I6. Цепь на (рис. 1.2) содержит 3 независимых, непересекающихся контура. Введём понятие «контурный» ток – условный, вводимый в вычислительных целях ток, протекающий в данном контуре и рассматриваемый изолированно от влияния других контуров цепи. Три контурных тока с ориентирными стрелками обозначены на рис.1.2 как I11, I22, I33. Идея метода контурных токов заключается в том, что сначала, при составлении уравнений, учитывается напряжение на сопротивлениях контура за счёт только его собственного контурного тока.
...

II. Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Для электрической схемы (рис.2) выполнить следующие пункты:
1. Определить комплексы действующих значений токов методом контурных токов.
2. Определить ток I2 в заданной схеме, используя теорему об эквивалентном генераторе напряжения.
3. Определить комплексы действующих значений токов методом узловых потенциалов.
4. Определить ток I3 в заданной схеме, используя метод наложения.
5. Записать необходимое количество уравнений для схемы по методу токов ветвей.
6. По результатам, полученным в предыдущих заданиях, определить показания ваттметра.
7. Построить потенциальную диаграмму на комплексной плоскости, при этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.
8. Проверка правильности расчетов цепей переменного тока. Вычислить суммарные активные и реактивные мощности источников электрической энергии. Вычислить суммарные активные и реактивные мощности нагрузок.
...

1. Метод контурных токов
Схема цепи для расчёта представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Для удобства расчетов в схеме преобразуем источник тока Ik3 в источник ЭДС. При этом Еk3 =Ik3R3. Теперь в третьей ветви имеем 2 источника ЭДС, направленных в одну сторону (рис.1.2). Просуммируем их и в результате получим:

Выберем произвольно направление токов в ветвях от I1 до I6. Цепь на (рис. 1.2) содержит 3 независимых, непересекающихся контура. Введём понятие «контурный» ток – условный, вводимый в вычислительных целях ток, протекающий в данном контуре и рассматриваемый изолированно от влияния других контуров цепи. Три контурных тока с ориентирными стрелками обозначены на рис.1.2 как I11, I22, I33. Идея метода контурных токов заключается в том, что сначала, при составлении уравнений, учитывается напряжение на сопротивлениях контура за счёт только его собственного контурного тока. Затем принимаются во внимание напряжения на смежных сопротивлениях за счёт токов соседних контуров.

Рис. 1.
...

3. Метод узловых потенциалов

Рассмотрим схему:

Рис. 3.1

Расставим номера узлов. Потенциал узла a примем равным 0. Потенциалы остальных узлов φb, φc, φd рассчитываются относительно нулевого. Уравнения по методу узловых потенциалов составляются на основе первого закона Кирхгофа. В левые части каждого из них входят:

1. Произведение полной проводимости узла на его узловой потенциал со знаком плюс. Например, для узла b получаем

.(3.1)

2. Произведения проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу на соответствующий узловой потенциал со знаком минус:
.(3.2)

В правые части уравнения входят комплексные амплитуды источников ЭДС с коэффициентами, равными их внутренним проводимостям и источники тока в соответствующих ветвях.
...

4. Потенциальная диаграмма

Потенциальной диаграммой называется график распределения потенциала вдоль контура электрической цепи.
Для цепи постоянного тока график распределения потенциала строят таким образом, что по оси абсцисс откладывают в выбранном масштабе все сопротивления контура, встречающиеся при его последовательном обходе. По оси ординат откладывают потенциалы соответствующих точек.
На рис. 4.1 приведена схема цепи. Обойдём внешний контур цепи.

Рис. 4.1

Потенциал узла d принят равным нулю. Найдём потенциалы остальных узлов.
Потенциал точки m равен:
,
так как потенциал точки m выше потенциала узла d на величину падения напряжения на сопротивлении R2 (обход контура в данном случае совершается против «тока», следовательно, в сторону увеличения потенциала).

Поскольку ЭДС E2 понижает потенциал, то

Потенциал узла b меньше потенциала узла c на величину падения напряжения на сопротивлении R5:

Далее

т.е. потенциал понижается.
...

5. Система по методу токов ветвей

В этом методе уравнения электрического равновесия составляются исходя из первого и второго законов Кирхгофа.

Рис. 5.1

Рассмотрим схему рис. 5.1. Она содержит 4 узла, следовательно, число взаимонезависимых уравнений составляемых по первому закону Кирхгофа равно число узлов (Ny) минус единица: Ny-1=3.
Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов ветвей сходящихся в узле цепи, равна нулю. При этом токи, направленные в узел берутся с одним знаком, а токи, выходящие из узла - с другим. Получаем:

Число взаимонезависимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров в схеме. Схема на рис. 5.1 содержит 3 независимых контура. Второй закон Kирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, включенных в этот контур.
...

II. Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Для электрической схемы (рис.2) выполнить следующие пункты:
1. Определить комплексы действующих значений токов методом контурных токов.
2. Определить ток I2 в заданной схеме, используя теорему об эквивалентном генераторе напряжения.
3. Определить комплексы действующих значений токов методом узловых потенциалов.
4. Определить ток I3 в заданной схеме, используя метод наложения.
5. Записать необходимое количество уравнений для схемы по методу токов ветвей.
6. По результатам, полученным в предыдущих заданиях, определить показания ваттметра.
7. Построить потенциальную диаграмму на комплексной плоскости, при этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.
8. Проверка правильности расчетов цепей переменного тока. Вычислить суммарные активные и реактивные мощности источников электрической энергии. Вычислить суммарные активные и реактивные мощности нагрузок.
...

1. Метод контурных токов
Схема цепи для расчёта представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Для удобства расчетов в схеме преобразуем источник тока Ik3 в источник ЭДС. При этом Еk3 =Ik3R3. Теперь в третьей ветви имеем 2 источника ЭДС, направленных в одну сторону (рис.1.2). Просуммируем их и в результате получим:

Выберем произвольно направление токов в ветвях от I1 до I6. Цепь на (рис. 1.2) содержит 3 независимых, непересекающихся контура. Введём понятие «контурный» ток – условный, вводимый в вычислительных целях ток, протекающий в данном контуре и рассматриваемый изолированно от влияния других контуров цепи. Три контурных тока с ориентирными стрелками обозначены на рис.1.2 как I11, I22, I33. Идея метода контурных токов заключается в том, что сначала, при составлении уравнений, учитывается напряжение на сопротивлениях контура за счёт только его собственного контурного тока. Затем принимаются во внимание напряжения на смежных сопротивлениях за счёт токов соседних контуров.

Рис. 1.
...

3. Метод узловых потенциалов

Рассмотрим схему:

Рис. 3.1

Расставим номера узлов. Потенциал узла a примем равным 0. Потенциалы остальных узлов φb, φc, φd рассчитываются относительно нулевого. Уравнения по методу узловых потенциалов составляются на основе первого закона Кирхгофа. В левые части каждого из них входят:

1. Произведение полной проводимости узла на его узловой потенциал со знаком плюс. Например, для узла b получаем

.(3.1)

2. Произведения проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу на соответствующий узловой потенциал со знаком минус:
.(3.2)

В правые части уравнения входят комплексные амплитуды источников ЭДС с коэффициентами, равными их внутренним проводимостям и источники тока в соответствующих ветвях.
...

5. Система по методу токов ветвей

В этом методе уравнения электрического равновесия составляются исходя из первого и второго законов Кирхгофа.

Рис. 5.1

Рассмотрим схему рис. 5.1. Она содержит 4 узла, следовательно, число взаимонезависимых уравнений составляемых по первому закону Кирхгофа равно число узлов (Ny) минус единица: Ny-1=3.
Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов ветвей сходящихся в узле цепи, равна нулю. При этом токи, направленные в узел берутся с одним знаком, а токи, выходящие из узла - с другим. Получаем:

Число взаимонезависимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров в схеме. Схема на рис. 5.1 содержит 3 независимых контура. Второй закон Kирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, включенных в этот контур.
...

6. Определение показаний ваттметра
Рассмотрим схему с включенным в нее ваттметром (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Ваттметр - это измеритель мощности переменного тока. Измерительный механизм ваттметра состоит из неподвижной и расположенной внутри нее подвижной катушек. Неподвижная (токовая) катушка включается последовательно с нагрузкой, а подвижная - параллельно нагрузке. Ваттметр показывает только активную составляющую мощности ветви, к которой он подключен. В нашем случае измеряется мощность первой ветви с током . Активную составляющую находим по формуле:

(6.1)

Здесь Re – действительная часть комплексного числа, которая берется от результата произведения, – комплексно-сопряженный ток в первой ветви.

7. Потенциальная диаграмма

Как известно из математики, любое комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, при этом длина вектора будет равна модулю комплексного числа, а угол наклона вектора к горизонтали – аргументу комплексного числа.

Рисунок 7.
...

4. Потенциальная диаграмма

Потенциальной диаграммой называется график распределения потенциала вдоль контура электрической цепи.
Для цепи постоянного тока график распределения потенциала строят таким образом, что по оси абсцисс откладывают в выбранном масштабе все сопротивления контура, встречающиеся при его последовательном обходе. По оси ординат откладывают потенциалы соответствующих точек.
На рис. 4.1 приведена схема цепи. Обойдём внешний контур цепи.

Рис. 4.1

Потенциал узла d принят равным нулю. Найдём потенциалы остальных узлов.
Потенциал точки m равен:
,
так как потенциал точки m выше потенциала узла d на величину падения напряжения на сопротивлении R2 (обход контура в данном случае совершается против «тока», следовательно, в сторону увеличения потенциала).

Поскольку ЭДС E2 понижает потенциал, то

Потенциал узла b меньше потенциала узла c на величину падения напряжения на сопротивлении R5:

Далее

т.е. потенциал понижается.
...

6. Баланс мощностей

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что количество потребляемой в цепи энергии равно количеству энергии, генерируемой источниками.

Вычислить суммарную мощность источников электрической энергии.

Для схемы рис.1.1 суммарная мощность источников электрической энергии определяется по формуле:
(6.1)

Вычислить суммарную мощность нагрузок.

Для схемы рис. 3.1 суммарная мощность нагрузок будет равна:

(6.2)

Составить баланс мощностей в заданной схеме и проверить правильность произведенных расчетов.

В результате вычисления получаем, что:

Ри=70,488 Вт,
Рн=70,501 Вт.

Следовательно, все расчёты выполнены правильно.

II. Расчет линейных электрических цепей переменного тока

1. Метод контурных токов

Рассмотрим схему, исключив из неё ваттметр.

Рис. 1.1

Вычислим круговую частоту:

Найдем комплексное сопротивление каждой из ветвей:

(1.
...

I. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.

1. Метод контурных токов
Схема цепи для расчёта представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Для удобства расчетов в схеме преобразуем источник тока Ik3 в источник ЭДС. При этом Еk3 =Ik3R3. Теперь в третьей ветви имеем 2 источника ЭДС, направленных в одну сторону (рис.1.2). Просуммируем их и в результате получим:

Выберем произвольно направление токов в ветвях от I1 до I6. Цепь на (рис. 1.2) содержит 3 независимых, непересекающихся контура. Введём понятие «контурный» ток – условный, вводимый в вычислительных целях ток, протекающий в данном контуре и рассматриваемый изолированно от влияния других контуров цепи. Три контурных тока с ориентирными стрелками обозначены на рис.1.2 как I11, I22, I33. Идея метода контурных токов заключается в том, что сначала, при составлении уравнений, учитывается напряжение на сопротивлениях контура за счёт только его собственного контурного тока.
...