Управление хаотической динамикой

Введение 3
Модели нелинейной системы с хаотической динамикой 6
Особые точки нелинейной модели 9
Линеаризация модели в особых точках 10
Нахождение собственных чисел матрицы Якоби и проверка, особых точек на гиперболичность 12
Определение вида особых точек 14
Определение характеристических показателей Ляпунова 16
Построение переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий 17
Инвариантная мера 18
Эргодичность и перемешивание 19
Определение типа аттрактора 20
Размерность аттрактора 25
Вычисление энтропии 28
Вычисление автокорреляционной функции 29
Вычисление характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям 30
Заключение 31
Список литературы 32

Данная курсовая работа посвящена вопросам анализа поведения нелинейных систем обладающих хаотической динамикой. А именно, рассматриваются системы нелинейные дифференциальных уравнений, обладающие хаотическими аттракторами и для этих систем ставятся задачи
• нахождения особых точек;
• линеаризации модели в особых точках;
• нахождения собственных чисел матрицы Якоби и проверка особых точек на гиперболичность;
• определения вида особых точек;
• определения характеристических показателей Ляпунова;
• построения переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий;
• исследования инвариантной меры;
• исследования эргодичности и перемешивания;
• определения типа аттрактора;
• определения размерности аттрактора;
• вычисления энтропии;
• вычисления автокорреляционной функции;
• вычисления характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям.
Если обратится к истории, то согласно философии древних греков термин хаос означал некоторую беспорядочную смесь материальных элементов мира, из которой произошло все сущее. В современном толковании термин употребляется для обозначения крайнего беспорядка, неорганизованности и т.д. В современном научном языке термин «хаос» или чаще «детерминированный хаос», получил широкое употребления после статьи Т. Ли и Дж. Йорке [8], которая вышла в 1975 г.
Можно различными способами дать строгое математическое определение хаоса, однако все такие определения будут выражать близкие по типу свойства динамических систем, связанные со «сверхчувствительностью» к начальным условиям: согласно определению даже очень близкие траектории будет расходится на некоторое конечное расстояние через некоторое время. Таким образом, прогноз траектории на длительное время оказывается невозможен. Следует заменить, что в данной ситуации каждая из траекторий может быть ограниченна. Данный факт противоречит нашему интуитивному восприятию неустойчивости, которое основано, прежде всего, на опыте работы с линейными системами.
Для нелинейных детерминированных систем подобное свойство «не близости траекторий» является достаточно типичным. Кроме того многие процессы, которые встречаются в прикладных областях науки, хорошо описываются при помощи моделей, которые обладают хаотическим поведением, и как правило, такие модели обладают более подходящими свойствами при описании нерегулярных колебаний и неопределенности, по сравнению со стохастическими и вероятностными моделями. Класс систем, которые являются генераторами псевдослучайных чисел, также является примером хаотических систем.
Оказалось, что для хаотических систем может иметь место следующее свойство: даже очень малое изменение параметров может существенно изменить поведение системы. Это замечательное свойство впервые было обнаружено в 1990 г. в работе Дж. Йорке с соавторами [9]. Так малое управляющее воздействие в виде обратной связи для хаотической нелинейной системы может привести к тому, что вместо траекторий, которые хаотически колебались, мы получим периодические траектории. Возможность такого коренного изменения динамики поведения систем является замечательным свойством, которое присуще только нелинейным системам и не наблюдается при анализе линейных систем.
После выхода работы [9] интерес к данной тематике чрезвычайно возрос и на данный момент существует очень большое количество публикаций, в которых как экспериментальными способами, так и способами компьютерного моделирования, демонстрируется, как управление (с обратной связью или без нее) влияет на поведение многочисленных реальных и модельных физических систем.
Следует отметить, что основания математического инструментария для исследования хаотических систем были заложены в 1960–1970-х годах такими выдающимися отечественными математиками как А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом, Д.В.Аносовым, В.К.Мельниковым, Я.Г. Синаем, Ю.И. Неймарком, Л.П. Шильниковым и их учениками.
Далее в курсовой работе будут приведены необходимые определения и утверждения относящиеся к свойствам дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, приведено описание и анализ перечисленных выше задач.

В данной курсовой работе рассмотрены вопросы поведения нелинейных систем дифференциальных уравнений обладающих хаотической динамикой. Рассмотрены следующие задачи: нахождения особых точек; линеаризации модели в особых точках; нахождения собственных чисел матрицы Якоби и проверка особых точек на гиперболичность; определения вида особых точек; определения характеристических показателей Ляпунова; построения переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий; исследования инвариантной меры; исследования эргодичности и перемешивания; определения типа аттрактора; определения размерности аттрактора; вычисления энтропии; вычисления автокорреляционной функции; вычисления характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям. Рассмотренные вопросы сопровождаются примерами.