Вычислительные методы / вариант 3

Оглавление
1. Постановка задачи ………………………………………………………………………3
1.1. Укрупненный алгоритм………………………………………………………………….3
1.2. Выбор и обоснование методов……………….…………………………………………4
1.3. Описание методов………………………………………………………………………..4
2.Тестирование……………………………………………………………………………….8
2.1. Метод золотого сечения………………………………….……………………………...8
2.1.1.Алгоритм…………………………………………………………….…………………8
2.1.2.Входная форма…………………………………………………………………………9
2.1.3.Код программы…………………..…………………………………………………….9
2.1.4.Выходные параметры……………………………………………...…………………11
2.1.5. Проверка в Matlab……………………………………….…………………………..11
2.2.Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………..……………………………..13
2.2.1. Алгоритм………………………………….………………………………………….13
2.2.2.Входная форма…………………...............……………………………………………14
2.2.3. Код программы………………..…………..………………………………………….14
2.2.4.Выходные параметры……………………………………………...…………………16
2.2.5. Проверка в Matlab………………………………………...…………………………16
3.Решение индивидуального задания ………………………….…………………………18
4.Проверка индивидуального задания в Matlab ……………….…………………………26
5.Вывод……………………………………………………..…….…………………………29
6.Литература………………………………………. …………….…………………………29

1.Постановка задачи:
В данной курсовой работе необходимо найти таблицу значения решения дифференциального уравнения, причём функция y(x) является решением ОДУ. По условии задачи нам дана некоторая функция f(t), откуда мы и находим координаты точки минимума и подставив в исходное дифференциальное уравнение, решаем его. Таким образом, последовательность решения задачи состоит из следующих этапов:
1)Нахождение координаты точки минимума функции f(t) на отрезке [0,b]
2)Подстановка в исходное уравнение, найденного значения a,k .
3)Нахождение таблицы значений решения дифференциального уравнения.
Все действия выполняются с заданной точностью ε=〖10〗^(-3) последовательность решения задачи иллюстрируется укрупненной схемой алгоритма показанной на рис.1

1.3 Описание методов
1.3.1Метод Рунге-Кутты 4-го порядка
Проводя дальнейшее обобщение формул Рунге-Кутты, для решения ОДУ первого порядка можно записать следующее:

где Ф – линейная функция аргументов x, y, h и f(x,y), которая может быть представлена как

(1.5.3-5)

Величина n в (1.5.3-4) определяется порядком метода, а коэффициентам2,3, … ,n, Р1, Р2, … ,Pn подбирают такие значения, которые обеспечивают минимальную погрешность. Так, для метода Рунге-Кутты четвертого порядка (n=4) получена расчетная формула при следующих коэффициентах: 2= 3=1/2, 4=1, P1 = P4=1/6, P2 = P3 =2/6.

Подставив значения коэффициентов в (1.5.3-4), имеем
(1.5.3-6)
Геометрическая интерпретация этого метода очень сложна и потому не приводится.
...

2.Тестирование
2.1. Метод золотого сечения
2.1.1. Алгоритм

2.1.2. Входная форма

2.1.3. Кодпрограммы.
Imports System.Math
PublicClass Form2
Function f(ByVal t AsSingle)
f = Exp(t)
EndFunction
Function vvod(ByVal T As TextBox)
ReturnCSng(Val(T.Text))
EndFunction
Sub vivod(ByVal x AsSingle, ByVal T As TextBox)
T.Text = CStr(x)
EndSub
Sub vivodint(ByVal x AsInteger, ByVal T As TextBox)
T.
...

1.3.3.Метод золотого сечения
В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b] в соотношении золотого сечения, такого, что отношение длины его большей части ко всей длине отрезка равно отношению длины его меньшей части к длине его большей части:
l

l2l1

Положим l =1, тогда l22= 1 - l2 , аl22 + l2 -1= 0, откуда

где k1, k2 - коэффициенты золотого сечения.
В методе золотого сечения каждая точка (х1 и х2)осуществляет золотое сечение отрезка (рис. 1.6.3-1).

Рис. 1.6.3-1

или
Нетрудно проверить, что точка х1 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [a;х2]. Точно так же точка х2осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [х1;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.
После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Длина конечного отрезка неопределенности n = 0.
...

4.2 Проверка индивидуального задания на Mathlab( Метод Рунге-Кутта 4-го порядка)
>> a=1.7632;
>> k=-0.0973;
>> f=@(x,y)((cos (y))./(a+x)+k.*y.^2);
>> [x,y]=ode45(f,0:0.1:1,0)
x =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y =
0
0.0551
0.1072
0.1562
0.2025
0.2461
0.2871
0.3257
0.3620
0.3961
0.4282

5.Вывод:
В данной курсовой работе было рассмотрено индивидуальное задание
Вариант 3.

Найти таблицу значений решения дифференциального уравнения
2 , y(0) = 0 на отрезке [0,b] с шагом h.
(a,k) – координаты точки минимума функции
на отрезке [t1 ,t2], определяемой с точностью ε
Исходные данные:
B
t1
t2
h
ε
1
0
2
0,1
10-3

Нужно было найти:
1) Координаты точки минимума функции f(t) на отрезке [0,b], используя метод Золотого сечения..
2)Подстановка в исходное уравнение, найденного значения a,k .
...

2.1.1. Алгоритм

2.1.2. Входная форма

2.1.3. Кодпрограммы.
Imports System.Math
PublicClass Form2
Function f(ByVal t AsSingle)
f = Exp(t)
EndFunction
Function vvod(ByVal T As TextBox)
ReturnCSng(Val(T.Text))
EndFunction
Sub vivod(ByVal x AsSingle, ByVal T As TextBox)
T.Text = CStr(x)
EndSub
Sub vivodint(ByVal x AsInteger, ByVal T As TextBox)
T.Text = CStr(x)
EndSub
Sub gold(ByVal a AsSingle, ByVal b AsSingle, ByVal eps AsSingle, _
ByRef x AsSingle, ByRef n AsInteger, ByRef L As ListBox)
Dim k1, k2, x1, x2, F1, F2 AsSingle, z AsString
k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2
k2 = 1 - k1
x1 = a + k1 * (b - a)
x2 = a + k2 * (b - a)
F1 = f(x1)
F2 = f(x2)
n = 0
DoUntil (b - a) < eps
n = n + 1
If n > 100 Then
z = CStr(n) + Space(2)
ElseIf n >= 10 Then
z = CStr(n) + Space(4)
Else
z = CStr(n) + Space(6)
EndIf
z = z + Format(a, "0.
...