Метод штрафов численного решения задач условной оптимизации (метод внешних и метод внутренних штрафов)

ВВЕДЕНИЕ. 3
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 4
2. МЕТОДЫ ШТРАФОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 6
2.1. Общая характеристика методов решения 6
2.2. Метод внутренних штрафов (метод внутренней точки). 7
2.2. Метод внешних штрафов (метод внешней точки) 10
3. АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ МЕТОДОМ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ 12
4. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНЫХ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
ЛИТЕРАТУРА 17

Буквально за последние несколько десятилетий возник целый ряд экстремальных задач (в областях техники, экономики, экологии), которые решать традиционными способами, основанными на принципах Ферма и Лагранжа, очень сложно или невозможно.
Разработанные зарубежными учеными эволюционные методы условной оптимизации основаны на пяти подходах: использование штрафных функций; специальное представление параметров и разработка соответствующих операторов; регенерации; обособленной обработки целевых функций и ограничений; разработка каждого ограничения как объекта; сочетании эволюционных алгоритмов с методами численной оптимизации.
Многочисленные исследования различных ученых свидетельствуют о том, что специальные представления и операторы полезные в прикладных задачах, для которых они были разработаны, но их можно приспособить для решения других задач. Реализация регенерирующих алгоритмов может оказаться сложнее решения самой задачи. Самым эффективным способом отыскания оптимума задачи с ограничениями является использование адаптивных и проблемно-ориентированных штрафных элементов.
Основная цель работы – исследовать метод штрафов численного решения задач условной оптимизации.
Объект исследования – численные методы решения экстремальных задач.
Предмет исследования – методы штрафных функций.
Основные задачи: определить задачу условной оптимизации; исследовать методы штрафов численного решения задач условной оптимизации; составить алгоритм метода штрафных функций; сравнить исследуемые методы.

Для решения задач с ограничениями разработан ряд методов. Среди них методы, что сводят решения этих задач к задачам безусловной оптимизации вспомогательных функций, учитывающих наличие ограничения для итеративного поиска точки условного минимума. Эти методы превращают исходную задачу, в должной мере, построенную последовательность задач без ограничений с дальнейшим использованием развитого математического аппарата безусловной оптимизации.
Ряд задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой находится оптимум. Процесс оптимизации при этом становится более сложным и может нарушаться даже условие, что оптимум должен достигаться в стационарной точке, что характеризуется нулевым градиентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке: . Но если задача минимизации решается с учетом ограничения: , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка: . Эта точка не является стационарной, так как .
В методах штрафных функций предусмотрено преобразование задачи условной оптимизации на эквивалентную задачу безусловной оптимизации введением внешних штрафных функций.