Геометрический смысл уравнений и неравенств

Оглавление
Введение 2
1. Геометрический смысл уравнений 3
2. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными 5
3. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными 7
4. Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными 10
5. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными 14
6. Решение задач по теме: «Геометрический смысл уравнений и неравенств» 15
Заключение 19
Список литературы 20

2. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными
В декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени. Естественно теперь поставить обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени относительно переменных определяет прямую? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим уравнение первой степени общего вида и выясним, каково геометрическое место тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Покажем, что исходным геометрическим местом точек является прямая линия.
Общее уравнение первой степени относительно имеет вид:

Здесь произвольные числа; при этом, конечно, коэффициенты A и B при переменных не могут быть одновременно равны нулю (иначе уравнение (3) не содержало бы переменных x и y b не было бы уравнением).
Разрешим уравнение (3) относительно y (предполагая, что .
...

3. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными
Всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени. Докажем обратную теорему: всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость.
Возьмем уравнение первой степени общего вида:

Будем рассматривать как проекции на оси координат Ox, Oy, Oz некоторого постоянного вектора n, а x,y, и z как проекции радиуса-вектора r точки M. Тогда уравнение (6) может быть переписано в векторной форме следующим образом:

Покажем, что уравнение может быть приведено к нормальному виду.
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть
Тогда разделим уравнение на модуль вектора n, т.е. на n.
Получим:

так как Обозначим отрицательное число через – p, где р положительно, будем иметь нормальное уравнение
2) Если то разделим уравнение на после чего оно примет вид
Обозначив же положительное число через р, получим нормальное уравнение.
...

4. Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными
Теорема 1. Пусть относительно общей декартовой системы координат прямая линия задана общим уравнением

Тогда для координат всех точек лежащих по одну сторону от этой прямой, выполняется неравенство

а для координат всех точек лежащих по другую сторону от этой прямой, - неравенство (рис.2)


Рис. 2.
Доказательство. Пусть две произвольные точки, лежащие по разные стороны от прямой l, заданной уравнением

Это значит, что существует внутренняя точка отрезка лежащая на прямой l. Пусть отношение, в котором точка М делит направленный отрезок Тогда координаты точки M через координаты точек выражаются соотношениями

Так как точка М лежит на прямой l, то координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой l.

откуда

Точка M – внутренняя точка отрезка поэтому значит, числа и разных знаков.
...

6. Решение задач по теме: «Геометрический смысл уравнений и неравенств»
Пример 1. Построить линию, определяемую уравнением
Уравнение можно переписать в виде:

Очевидно, геометрическое место точек, для которых абсцисса равна ординате, представляет собой биссектрису AB I и III координатных углов (рис.6.).

Рис.6.
Пример 2. Построить линию, определяемую уравнением
Легко видеть, что геометрическим местом точек, для которых будет биссектриса CD II и IV координатных углов. Следовательно, уравнение является уравнением этой биссектрисы (рис.7).
Пример 3. Построить линию, определяемую уравнением
Выразим из этого уравнения одну из координат через другую (например, через :
Будем давать различные произвольные значения, например и находить соответствующие значения Таким образом, мы получим ряд точек, нанесем их на плоскость и соединим плавной линией (рис. 3). Это и будет искомая кривая.

Рис.7.
Пример 4.
...

Список литературы
1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. – М.: Наука, 1968.
2. Бахвалов С. В.: Аналитическая геометрия. – М.: Просвещение, 1965.
3. Бахвалов С. В.: Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: НАУКА, 1964.
4. Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005.
5. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. – 13-е изд., стереот. – ФИЗМАТЛИТ, 2005.
6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. – 7-е изд., стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
7. Канатников А. Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – 2-е изд. – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана,2000.
8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001.
9. Кузютин В. Ф., Зенкевич Н. А., Еремеев В. В. Геометрия: Учебник для вузов. – СПб.
...