Приложения определенного интеграла в геометрии и физике

Введение 3
Глава 1 Теоретические основы применения определенного интеграла в геометрии и физике 4
1.1 Интеграл Римана как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница 4
1.2 Геометрические приложения определенного интеграла 6
1.3 Физические приложения определенного интеграла 11
Глава 2 Практическое применение геометрических и физических приложений определенного интеграла к решению задач 17
2.1 Геометрические задачи 17
2.2 Физические задачи 19
Заключение 23
Список используемых источников и литературы 25

Понятие определенного интеграла является наиболее важным среди основных понятий математического анализа. Однако, в процессе изучения этой темы возникают определённые трудности, связанные с высокой степенью абстрактности вводимых понятий; достаточно сложной логической структурой вводимых определений; недостаточным количеством часов, выделенных для изучения темы, и многое другое.
Однако данная тема имеет огромное прикладное значение.
Таким образом, выбранная тема курсовой работы «Приложения определенного интеграла в геометрии и физике» является актуальной.
Цель исследования – изучить геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1.2 Геометрические приложения определенного интеграла

Определение 1.2.1. -окрестностью точки называется множество [19, с. 350].
Определение 1.2.2. Точка называется внутренней точкой множества , если для любой такой, что . Множество всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е [10, с. 350].
Обозначение: .
Определение 1.2.3. Точка называется граничной точкой множества , если для любой существует точка и и существует точка и . Множество всех граничных точек множества называется границей множества Е [12, с. 352].
Обозначение: .
Определение 1.2.4. Множество называется ограниченным, если его можно заключить в некоторый круг:
Е – ограниченно тогда и только тогда, когда [19, с. 352].
Определение 1.2.5. Плоской фигурой называется всякое ограниченное множество точек.
Пусть F – плоская фигура. Обозначим через Q – многоугольник, содержащий F, а через Р – многоугольник, содержащийся в F. Фигуры Q и Р квадрируемы.
...

1.3 Физические приложения определенного интеграла

Определение 1.3.1. Пусть на плоскости xOy дана точка М(х; у) массы m. Произведения mx и my называют ее статическими моментами соответственно относительно оси Ox и Oy. Обозначение Mx и My соответственно.
Определение 1.3.2. Если на плоскости xOy дана система материальных точек , массы которых соответственно равны , то и называют соответственно статическими моментами системы материальных точек относительно осей Ох и Оу.Оу.
Теорема 1.3.1. Пусть гладкая кривая задана в параметрической форме

и пусть линейная плотность этой кривой, причем непрерывная функция. Пусть , тогда , где , то есть и
.
Аналогично, [20, с. 380].
Следствие 1.3.1. Если кривая задана в явной форме, то есть y=f(x), . Следовательно получим:

Теорема 1.3.2. Пусть фигура задана системой , причем поверхностная плотность постоянна. Пусть . Проведем прямые, параллельные оси Оу через точки (х; 0) и (х+х; 0).
...

2.2 Физические задачи

Пример 1. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной прямой и синусоидой .
Решение
Построим прямую и синусоиду (рис. 2)

Рисунок 2 – График прямойи синусоиды

Прямая и синусоида пересекаются в точках (0; 0), . Площадь фигуры, ограниченной этими линями равна

Отсюда получаем:

Пример 2. Найти величину давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции с верхним основанием, равным 70м, нижним основанием – 50м и высотой в 20м.
Решение
Дифференциал площади dS заштрихованной (рис. 3) области, приближенно равен MN ⋅dx . Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим:

Пример 3. Пользуясь теоремой Гульдина, найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно диагонали, если длина прямоугольника равна 8, а ширина 6.
Решение
Так как центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей, то его расстояние до оси равно половине диагонали, т.е.
...

Заключение

В силу абстрактности понятия определенного интеграла интегральное исчисление широко применяется к самым разнообразным вопросам геометрии, механики, физики, химии, экономики и другим научным дисциплинам, причем решение задачи проводится по одной и той же схеме.
Как правило решение прикладных задач с использование определенного интеграла осуществляется по двум схемам:
1. Метод интегральных сумм;
2. Метод дифференциала.
При решении прикладных задач рекомендуется использовать метод математического моделирования. При решении прикладных задач методом математического моделирования необходимо выполнить следующие этапы: выполнить анализ условия, перевести его на математический язык, составить математическую модель задачи, выполнить преобразование составленной модели, получить математическое решение, исследовать и провести интерпретацию поученного решения в терминах задачи.
...