Квадратичные отображения в C^n

Содержание
Введение 3
1. Основная теорема алгебры. 4
1.1 Доказательство вспомогательных утверждений. 4
1.2 Доказательство основной теоремы. 7
2.Квадратичные отображения в Cn 8
Литература 10

Введение

Понятие комплексного числа является одним из фундаментальных понятий всей современной математики. Введение комплексных чисел позволило мате-матикам с новых позиций осмыслить многие математические факты, соединить в единое целое, на первый взгляд, различные разделы математики. Именно комплексные числа позволили сформулировать и доказать основную теорему алгебры о том, что всякий многочлен имеет по крайней мере один корень. В настоящее время известно много доказательств этой теоремы.
Работа состоит из двух частей. В первой части формулируется и доказывается основная теорема алгебры. Во второй части рассматриваются билинейные отображения над полем комплексных чисел и доказывается, что всякое сюрьективное квадратичное отображение не имеет нулей, отличных от z0.

Определение.Квадратичным отображением на линейном
пространстве называется отображение ,значение которого на любом векторе определяется равенством Q(x) B(x, x),
где B–симметричное билинейное отображение.
Теорема. Пусть - квадратичное сюрьективное отображение. Тогда для любого выполняется условие
Доказательство. Предположим, что при сделанных предположениях утверждение теоремы не верно. Тогда найдется вектор такой, что . выберем вектор ,линейно независимый с вектором h. Тогда любой вектор z можно представить в виде линейной комбинации векторов hи ς. Пусть . Вычислим Q(z).

Так как , то получим


Возможны два случая 1) векторы и линейно независимы;
2) векторы и линейно зависимы.
1) Рассмотрим первый случай. В этом случае векторы и могут быть выбраны в качестве базисных. Тогда в этом базисе отображение Q(z) будет иметь вид: . Но тогда уравнение не будет иметь решений, в базисе, задаваемым векторами uи v. Это противоречит сюрьективности отображения Q.
2) Во втором случае, когда векторы uи vлинейно зависимы, получим, что ото-бражение Q(z) отображает в линейное пространство, порожденное вектором u. Следовательно, в этом случае уравнение , где wuξ, а вектор ξ является линейно независимым с u, не будет иметь решения. Это опять противоречит сюрьективности отображения Q.
Теорема доказана.