Метод Эйлера интегрирования однородного линейного ураdнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение (немного истории).........................................................................
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка ....................
1.1. Линейная независимость функций. ...............................................
1.2. Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка. Определения...........................................................................................
§ 2. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами по методу Эйлера..............................................................................................................
2.1. все корни характеристического уравнения вещественные и различные................................................................................................
2.2. Корни характеристического уравнения вещественные, но некоторые из них кратные.............................................................................
2.3. Некоторые корни характеристического уравнения комплексные............................................................................................................
2.4. Некоторые комплексные корни характеристического уравнения кратные............................................................................................
Заключение .....................................................................................................
Список литературы.......................................................................................... 2
4
4

7


9

11

13

16

19
22
23

ВВЕДЕНИЕ (НЕМНОГО ИСТОРИИ)
Истоки теории дифференциальных уравнений восходят еще к возникновению теории бесконечно малых – основы современного дифференциального и интегрального исчисления. Она зародилась, в первую очередь, работами таких великих ученых 17 – го века, как Исаак Ньютон, Иаков Бернулли, Лейбниц, Коши и другие.
Простейшие дифференциальные уравнения впервые встречаются у Непера (1556-1617) в его работах по логарифмам. Затем такие уравнения получают и другие великие математики – Ньютон, Лейбниц и др., в основном работах по механике. Тогда составленные дифференциальные уравнения старались привести к уравнениям с разделяющимися переменными.
Одним из первых были решены однородные уравнения первого порядка вида dy/dx=φ(x/y) и dy/dx=φ((a_1 x+b_1 y+c_1)/(a_2 x+b_2 y+c_2 )) в работах Бернулли и Лейбница.
Однако теория обыкновенных дифференциальных уравнений свое развитие и становление приобрела лишь в 18 – ом веке, благодаря таким великим математикам, как Л. Эйлер (1707-1783), Лагранж (1707-1783), Гаусс (1777-1855) и другие. Среди множества научных работ по дифференциальным уравнениям этой времени особое значение для развития теории дифференциальных уравнений имели работы Эйлера и Лагранжа по малым колебаниям. Такие процессы и описываются линейными уравнениями и их системами. При изучении таких процессов и был разработан математический аппарат интегрирования однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Свой классический метод решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка Эйлер дал в своем мемуаре (1743 г.). Он использовал соответствующие постановки при простых, кратных, а также комплексных корней характеристического уравнения. В этом же мемуаре он доказал, что общим решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка является линейная комбинация его n частных решений. Там же он впервые ввел понятия «частное решение» и «общее решение».
Дальнейшее развитие и окончательное становление теории обыкновенных дифференциальных уравнений в 19 – 20 веках связаны с такими великими именами, как Пуассон (1781-1840), Якоби (1804-1851), Лиувилль (1809-1882), С. Ли (1842-1899) и др.
Свою весомую лепту в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений внесли также такие известные русские математики 19 – го, 20 – го веков, как А. М. Лябунов, А. А. Андронов, Л. С. Пондрягин, Н. М. Крылов, А. Н. Колмогоров и другие.
Настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений тесно связывается со многими современными математическими теориями и их приложениями, топологией, теорией бифуркаций, теорией усреднения, теорией возмущений условно периодических движений Колмогорова и другими. Так, что роль и место дифференциальных уравнений в современной математике не только не уменьшается, но наоборот, их значение в математической теории и прикладной математике все больше увеличивается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Резюмируя и обобщая тему курсовой работы, в заключении можно добавить следующее.
Еще у истоков возникновения теории дифференциальных уравнений 18-ом веке великий математик Леонард Эйлер в своих трудах создал удивительно стройную и изящную теорию линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами, тем самым дал огромный толчок развитию этой теории. Ему принадлежит честь создания не только теории решения однородных уравнений с постоянными коэффициентами, но и неоднородных уравнений, а также теорию систем линейных однородных и неоднородных уравнений. Его перу принадлежит также изучение целого класса линейных уравнений с переменными степенными коэффициентами вида p_i x^i, названных в его честь уравнениями Эйлера. Эти уравнения с помощью соответствующих постановок приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это далеко не полный список заслуг Эйлера только в одной узкой области теории дифференциальных уравнений. А в других областях математической науки?... На каждом шагу в разных отраслях математики то и дело встречаются теорема Эйлера и задача Эйлера, формулы Эйлера и преобразования Эйлера, окружность Эйлера, прямая Эйлера и т.д., и т.п. А в физике?! А в астрономии?!... Во истину, гений есть гений во всем...