Проектирование цифровых фильтров

Введение 3
Необходимые понятия 4
Разностное уравнение дискретного фильтра 7
Этапы разработки фильтра 10
Пример разработки фильтра с помощью Maple 12
Резюме 16
Список использованных источников 17
Приложение 1 18

Необходимые понятия
Дельта-функция Дирака
Дельта-функция – обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Рисунок 1
Дельта-функцию одной вещественной переменной можно определить как функцию , удовлетворяющую следующим условиям:
11\* MERGEFORMAT (.)

Дискретные сигналы
В цифровых системах сигналы представляют собой последовательности отсчетов, взятые, как правило, через равные промежутки времени . Рассмотрим дискретный сигнал , который получается из непрерывного сигнала :

12\* MERGEFORMAT (.)

Рисунок 2

Импульсная характеристика фильтра
Импульсной характеристикой называют реакцию фильтра на единичный импульс, поданный на его вход. Под единичным импульсом понимается такой сигнал, что в момент времени t=0 он равен 1, а во все остальные моменты времени он равен нулю.
...

Разностное уравнение дискретного фильтра
Equation Section (Next) Обработка сигнала в самом общем случае может быть выражена как некоторый алгоритм, или закон, позволяющий по заданному входному сигналу получить выходной сигнал . Этот алгоритм удобно выразить соотношением:
, 21\* MERGEFORMAT (.)
где через обозначен оператор, отображающий пространство дискретных сигналов само на себя и присущий данному конкретному цифровому фильтру.
Будем рассматривать далее линейные фильтры, то есть фильтры, реакция которых (выходной сигнал) на сумму двух входных может быть представлена как сумма его реакций на отдельные составляющие входного сигнала:
22\* MERGEFORMAT (.)
Рассмотрим воздействие на линейный фильтр единичного сигнала . Обозначим выходной сигнал фильтра при таком воздействии как и будем называть его импульсной характеристикой:
23\* MERGEFORMAT (.)
Для линейных фильтров импульсная характеристика полностью характеризует фильтр.
...

Этапы разработки фильтра
Разработку цифрового фильтра можно условно разбить на несколько этапов:
1. спецификация требований к фильтру (постановка задачи);
2. вычисление коэффициентов фильтра;
3. анализ влияния конечной разрядности вычислительных устройств на производительность фильтра;
4. реализация фильтра на программном уровне.

Спецификация требований к фильтру
Спецификация требований включает описания:
1) характеристик сигналов (тип источника и получателя сигнала, скорость передачи данных и ширина полосы, наивысшая частота);
2) характеристик фильтра (желаемая амплитудная и/или фазовая характеристика и их строгость, скорость работы и режимы фильтрации);
3) принципа реализации (программа или ПЛИС).

Расчёт коэффициентов
На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов или и в зависимости от типа фильтра (КИХ или БИХ соответственно). Необходимо подобрать их так, чтобы удовлетворить спецификации требований к фильтру.
...

Пример разработки фильтра с помощью Maple
Воспользуемся пакетом Maple Applications для разработки КИХ-фильтра нижних частот методом взвешивания. Сам метод и реализующая его функция описаны в Приложении 1.
В качестве сигнала возьмём гармонический сигнал с частотой дискретизации 22.05 kHz и заданный массивом из 20191 точек. Сигнал имеет огибающую следующего вида:

Рисунок 4
Частотный спектр исходного сигнала:

Рисунок 5
Рассчитаем коэффициенты (N=41) фильтра нижних частот, который удовлетворяет следующим спецификациям:

граничные частоты полосы пропускания 3 кГц
ширина полосы перехода 0.9 кГц
затухание в полосе подавления >50 дБ

Коэффициенты для уравнения КИХ-фильтра (2.10):
1
-0.01565
2
-0.00853
3
0.00557
4
0.01728
5
0.01783
6
0.00538
7
-0.01281
8
-0.02432
9
-0.01964
10
0.00062
11
0.02446
12
0.03491
13
0.02099
14
-0.01340
15
-0.04851
16
-0.05765
17
-0.02183
18
0.05788
19
0.15762
20
0.24016
21
0.27211
22
0.24016
23
0.15762
24
0.05788
25
-0.
...