Элементы математической статистики

1. Выборочный метод математической статистики 1.1. Задачи математической статистики. Понятия генеральной и выборочной совокупностей 2
1.2. Статистическое распределение выборки, вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма 3
2. Статистические оценки параметров распределения 5
2.1. Точечные оценки. Генеральное среднее. Выборочное среднее. Оценка генерального среднего по выборочному среднему 5
2.2. Точечные оценки. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии 6
2.3. Понятие о несмещенных, эффективных, достаточных и состоятельных оценках 7
2.4. Метод моментов 8
2.5. Метод максимального правдоподобия 9
2.6. Интервальные оценки. Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности 10
3. Проверка статистических гипотез 11
3.1. Понятие о статистической гипотезе. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы 11
3.2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы. Критическая область, область принятия гипотезы, критические точки. 11

. Выборочный метод математической статистики

1.1. Задачи математической статистики. Понятия генеральной и выборочной совокупностей

Данные наблюдений о массовых явлениях или изменениях наблюдаемых признаков (свойств) явлений или объектов, выраженные в числах, являются совокупностью статистических данных.
Задачей математической статистики является определение закономерности о распределении какой-то случайной величины или нескольких случайных величин и их взаимосвязи. В общем основная задача статистики выявление и исследование закономерностей в совокупности статистических данных, состоящих из очень большого числа элементов. Эти закономерности проявляют себя как общая тенденция с колебаниями и отклонениями от неё в свойствах отдельных элементов.
Пример: по многолетним наблюдениям метеостанции за температурой воздуха можно вывести закономерность изменения температуры на участке наблюдений.
Генеральная совокупность это множество значений некоторой случайной величины.
Пример 1 : значения температуры на данном участке за определённый период времени.
Выборка или выборочная совокупность это некоторое количество выбранных нами значений величины из генеральной совокупности. Значение величины называют элементом выборки, количество элементов в выборке называют объёмом выборки. Выборка должна быть репрезентативной, т.е. представительной. Представительная выборка представляет всю генеральную совокупность и правильно отражает её основные черты и свойства.

При проверке нулевой гипотезы могут быть допущены ошибки. Ошибкой первого рода считается отклонение правильной нулевой гипотезы и ошибкой второго рода – принятие неверной нулевой гипотезы. Вероятность ошибки первого рода обозначают α и называют уровнем значимости, вероятность ошибки второго рода обозначают β и называют оперативной характеристикой критерия. Мощностью критерия называют вероятность недопустимости ошибки второго рода.
Случайную величину, которую используют для проверки гипотезы, называют критерием или статистическим критерием и обозначают К. Эмпирическим или наблюдаемым значением критерия является вычисленное значение по выборкам и обозначается К набл.
Совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отклоняют, называют критической областью, при которых принимают – областью принятия гипотезы или областью допустимых значений.
Для проверки статистической гипотезы рассматривают принадлежит ли значение критерия критической области или области принятия гипотезы. На основании этого рассмотрения либо принимают, либо отвергают нулевую гипотезу.
Критическими точками или границами являются точки, которые разделяют область принятия гипотезы от критической области и обозначают kкр .
Правосторонней называют критическую область которая определятся неравенством К kкр , где kкр - положительное число.
Левосторонней называют критическую область, которая определятся неравенством К kкр , где kкр - отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К k1, К k2 , где k1 k2.
Алгоритм проверки статистических гипотез
1. Формулируем нулевую проверяемую гипотезу Но и альтернативную гипотезу Н1.
2. Подбираем статистический критерий θ (x1, x2, ….xn) – это случайная величина, которая вычисляется по результатам выборки.
3. Формулируем правило проверки. Определяем объем выборки n, в зависимости от уровня значимости α и мощности критерия 1-β либо по условию минимизации β при заданных значениях α и n.
4. выбираем одностороннюю или двустороннюю проверку. Это зависит от нулевой и альтернативной гипотез. Выбор альтернативной гипотезы диктуется существом проверки.
5. Вычисляем критические точки по распределению критерия.
6. Производим выборку Х1, Х2, …Хn . Для полученных значений x1, x2, ….xn реализации выборки вычисляем наблюдаемое значение критерия θнабл θ (x1, x2, ….xn) . Если это значение попадает в критическую область, гипотеза Но признается не соответствующей данным наблюдения и отклоняется. Если θнабл попадает в допустимую область, то гипотеза признается не противоречащей выборочным данным и может быть признана правдоподобной.
Чаще всего проверкой гипотез решаются задачи сравнения (сравнение выборочных характеристик и нормативных), сравнения характеристик двух выборок, о виде выборочного распределения и проверки значимости расхождения выборочных характеристик.