Математические модели

Введение 2
1. Виды моделей 3
2. Классификация математических моделей по свойствам обобщенного объекта моделирования 5
3. Адекватность и эффективность математических моделей 7
4. Методы построения математических моделей 9
5. Методика составления уравнений поведения в статистике 12
6. Примеры составления уравнений поведения в статистике 14
7. Составление уравнений поведения в статистике для заданной системы 20
Заключение 22
Список литературы 23

1. Виды моделей
Материальные модели
a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);
b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);
c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).
Аналоговое моделирование основано на том, что свойства и характеристики некоторого объекта воспроизводятся с помощью модели иной, чем у оригинала физической природы.
...

2. Классификация математических моделей по свойствам обобщенного объекта моделирования
Первое свойство непрерывность и дискретность. Все те объекты, переменные которых (включая, при необходимости, время) могут принимать несчетное множество сколь угодно близких друг к другу значений называются непрерывными или континуальными.
Следующее свойство модели — детерминированность или стохастичность. Если в модели среди величин имеются случайные, т. е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы.
Свойства сосредоточенности или распределенности характеризуют объекты с точки зрения роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяженность (на фоне скорости распространения физических процессов).
...

3. Адекватность и эффективность математических моделей
Таким образом, можно сделать заключение: наилучшее в практическом отношении качество или эффективность любой модели достигается как разумный компромисс между близостью модели к оригиналу (адекватностью) и простотой, обеспечивающей возможность и удобство использования модели по её прямому назначению; чрезмерная точность модели на практике не менее вредна, чем её неполнота и грубость.
Проблема моделирования состоит из трех задач:
• построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
• исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
• использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Математическое моделирование часто начинается с необходимости прогнозирования развития некоторого процесса во времени.
...

4. Методы построения математических моделей
Аналитические
На практике теоретические модели выступают в двух основных ролях. Прежде всего, они образуют структурную основу и являются главным исходным материалом всех без исключения теоретических построений. Любая теория, относящаяся к сфере точных наук, есть не что иное, как система взаимосвязанных аналитических моделей, подчиненная регулятивным принципам и универсальным зависимостям более высокого уровня.
В поисковых областях научного знания теоретические модели, предназначенные для объяснения и описания явлений, не укладывающихся в существующие теоретические представления, играют роль главного инструмента познания.
Вместе с тем, модели этого класса являются основой для решения множества конкретных прикладных задач, в частности инженерно-технического характера, относящимся к хорошо изученным, не слишком сложным объектам и носящих типовой или рутинный характер.
...

5. Методика составления уравнений поведения в статистике
Основная практическая задача статики - определение реакций связей, удерживающих конструкцию, тело или систему тел в равновесии. Все типовые задачи о равновесии решаются по единой методике:
1. Выбираем объект исследования.
Объект исследования выбираем так, чтобы на расчетной схеме были искомые неизвестные и заданные нагрузки. В задачах о равновесии составной конструкции в качестве объекта исследования приходится последовательно рассматривать каждую часть конструкции.
2.
...

6. Примеры составления уравнений поведения в статистике
Система сходящихся сил в плоскости

Рассмотрим равновесие точки В и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис. 1).
На точку В, как активная сила, действует сила тяжести груза .

Рис. 1.
Со стороны связей (веревок) на точку В действуют их реакции – натяжение вдоль веревки АВ и натяжение части веревки ВС, причем по модулю натяжение N равно весу груза D (N = Q).
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сходящихся сил составляем два уравнения равновесия в проекциях на оси координат x и y (рис. 1):

Из уравнения (1) находим Подставляем в уравнение (2) и находим При заданных числовых значениях получаем T = 122 Н, Р = 136,6 Н.
Проверка.
Для проверки составим еще одно уравнение равновесия в форме проекций сил на ось x1 (рис.1) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем

Относительная погрешность вычислений составляет не более (0,028/100).
...

Заключение

Достоверную математическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этого необходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (конструкции, законах, описывающих протекающие в нем процессы, условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.
С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных.
...