Случайная величина, ее характеристики

Содержание

Введение …………………………………………………………………………. 3
Математическое ожидание дискретной случайной величины …..…………… 6
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение …………………………... 14
Ковариация и коэффициент корреляции ……………………………………... 21
Заключение …………………………………………………………………….. 28
Список литературы …………………………………………………………….. 30

Введение

Как и всякие явления, случайные явления вызываются вполне определенными причинами. Все явления окружающего нас мира взаимно связаны и влияют одно на другое (закон всеобщей связи явлений). Поэтому каждое наблюдаемое явление связано причинной зависимостью с бесчисленным множеством других явлений и течение его зависит от бесчисленного множества факторов. Проследить все это бесконечное множество связей и определить действие каждой из них принципиально невозможно. Поэтому, изучая то или иное явление, человек ограничивается лишь основными факторами, определяющими его течение, и пренебрегает огромным количеством второстепенных явлений. Это дает возможность глубже проникнуть в сущность явления, установить его закономерность. Вместе с тем, поступая так, человек обедняет явление, схематизирует его. Иными словами, он заменяет изучаемое явление подходящей упрощенной его моделью. Вследствие этого любой закон науки отражает сущность изучаемого явления, но он всегда значительно беднее, уже самого явления. Никакой закон не может характеризовать явление всесторонне, во всей полноте и многообразии. Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.
При экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях. При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов. Все неконтролируемые факторы будут при этом различными. Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно. Роль случайностей в разных явлениях различна. В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей настолько малы, что их можно не учитывать. Однако есть и такие явления, в которых невозможно подметить никаких закономерностей, и случайность играет основную роль. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое броуновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью. При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности. Так, например, можно проектировать измерительные системы, обладающие максимальной доступной точностью, радиоприемные устройства с максимальной помехозащищенностью, обладающие минимальным уровнем шумов, системы управления движением летательных аппаратов, обеспечивающие наибольшую возможную точность навигации или наименьшее действие «болтанки» на летательный аппарат. Можно также проектировать технические системы, обладающие заданной надежностью. Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается особая математическая наука — теория вероятностей. Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать определенные практические выводы относительно случайных явлений. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.

Заключение

Теория вероятностей является мощным инструментом исследования, и поэтому она находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики. Области ее применения непрерывно расширяются. В прошлом веке теория вероятностей получила применение в теории измерений, в теории стрельбы и в физике. В нашем веке она постепенно проникла в аэродинамику и гидродинамику, радиотехнику, теорию управления, динамику полета, теорию связи, строительную механику, теорию механизмов и машин, теорию волнения моря и качки кораблей, метеорологию и во многие другие области знания. Сейчас трудно назвать отрасль науки, которая не пользовалась бы вероятностными методами. В современной теории процессов управления, в теоретической радиотехнике теория вероятностей стала основным инструментом исследований. Вся теория современных сложных систем и процессов управления основана на применении статистических методов. Теория вероятностей служит фундаментом для теории надежности технических систем и для многих других прикладных научных теорий. Этот процесс непрерывного расширения областей применения теории вероятностей вполне естествен и легко объясняется. Дело в том, что в начале развития каждой отрасли науки человек стремится открыть основные законы этой науки и ему достаточно довольно грубого совпадения результатов расчета с данными опытов. Кроме того, техника эксперимента на начальной стадии несовершенна и не может обеспечить высокую точность измерений. По мере развития науки требования к точности расчетов повышаются, техника эксперимента совершенствуется, и случайные явления, которыми можно было пренебрегать в начале развития данной отрасли науки, начинают играть все более и более значительную роль. В результате старая теория начинает во многом расходиться с экспериментальными данными и возникает необходимость обратиться к теории вероятностей. Теория вероятностей во всех таких случаях неизменно дает новую теорию, более точно описывающую изучаемые явления и обеспечивающую совпадение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными. Так случилось в начале тридцатых годов с теорией турбулентности в аэродинамике и в сороковых годах с теорией автоматического управления и радиотехникой, а потом и с другими прикладными научными теориями. Особенность вероятностных методов состоит в том, что они рассматривают исследуемое явление в целом, изучают результаты совокупного действия всех причинных связей, которые невозможно проследить по отдельности.