Метод Монте-Карло

Оглавление

Введение 2
Сущность метода 4
Прикладные задачи с использованием метода Монте-Карло 6
Пример 1 Задача о площади (интегрирование) 6
Пример 2 Применение метода Монте-Карло при анализе привлекательности инвестиционного проекта 8
Пример 3 Задача о случайном блуждании 13
Литература 19

Введение
С развитием вычислительной техники всё больше возрастает интерес численным методам решения прикладных задач, в том числе и к статистическим методам, одним из которых и является метод Монте-Карло.
Принципиальная математическая основа использования методов Монте-Карло – Усиленный закон больших чисел в форме А.Н. Колмогорова.
Теорема Колмогорова.
Для того чтобы среднее арифметическое независимых реализаций случайной величины сходилось с вероятностью единица к ее математическому ожиданию необходимо и достаточно, чтобы это математическое ожидание существовало.
Итак, первое несомненное достоинство методов Монте-Карло – простая схема вычислительного алгоритма.
Поговорим о некоторых трудностях, которые могут встретиться нам на пути применения рассмотренного подхода. Заметим, что нам нужна не любая, а достаточно достоверная оценка искомой величины, т.е. оценка с малой погрешностью. Добиться этого далеко не так просто, как кажется. Большую роль, разумеется, играет адекватность построенной вероятностной модели (такие модели во многих задачах известны).
Следующая важная составляющая – моделирование случайных величин с заданными распределениями. Как правило, такое моделирование осуществляется путём преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа a, распределённого равномерно в интервале (0,1). Последовательности «выборочных» значений a обычно получают на ЭВМ с помощью теоретико-числовых алгоритмов, среди которых наибольшее распространение получил «метод вычетов».
Изначально данным методом решали актуальные задачи теории переноса и излучения. В последнее время сфера применения данного метода значительно расширилась. Разработана теория вероятностных представлений решения задач математической физики, на которой основаны соответствующие численные стохастические оценки. Эффективные алгоритмы разработаны в статистической физике, в физической и химической кинетике, в теории массового обслуживания, финансовой математике, в теории турбулентности, в математической биологии и других прикладных науках. Данный метод считается наиболее удобным для моделирования случайных вероятностных процессов. Одним из классических применений метода является решение так называемой задачи о случайном блуждании, которая будет рассмотрена в дальнейшем как один из примеров.
Кроме того, метод Монте-Карло используется для оценки финансовых рисков предприятия, расчетов NPV инвестиционных проектов и оценки стоимости финансовых компаний, что также будет далее рассмотрено в примере.

отсутствует