Решение линейного интегрального уравнения второго рода Фредгольма

Введение
1 Линейные интегральные уравнения
1.1 Линейное интегральное уравнение второго рода Фредгольма как частный случай интегрального уравнения в общей форме
2. Методы решения линейных интегральных уравнений второго рода Фредгольма (с постоянными пределами)
2.1 Метод последовательных приближений
2.2Теоремы существования и единственности решений
2.3 Решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью резольвенты
2.4 Метод квадратур решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода
2.5 Метод вырожденного ядра
Заключение

Теория линейных интегральных уравнений, по-прежнему, остается актуальной фундаментальной областью математики. Во многих математических задачах рассмотрение моделей, процессов и явлений связано с построением дифференциальных уравнений различного порядка, алгоритмы решений которых определяются граничными условиями.
В ряде случаев дифференциальные уравнения удается свести к линейным интегральным уравнениям. При этом разнообразные дифференциальные уравнения с частными или индивидуальными производными могут быть выражены в виде одного того же типа линейного интегрального уравнения. С этой точки зрения, теория решения линейных интегральных уравнений может представлять собой основу исследований явлений и процессов во многих научных областях, включая механику сплошной среды, химические реакции, электрические и магнитные поля, гидро- и электростатику и т. д.
В качестве примера перехода от дифференциальных к интегральным уравнениям можно привести задачу по определению формы прогиба оси стержня при задании функции нагрузки при равновесии стержня. Как показано в работе (Привалов, 2017), в этом случае, следуя терминологии Гильберта, дифференциальное уравнение сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если же стержень перейдет из состояния равновесия в колебательный режим, то дифференциальное уравнение сведется к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В силу этих особенностей актуальными задачами являются сами методы решения линейных интегральных уравнений, их оптимизация и уточнение. Существенной проблемой интегральных уравнений Фредгольма является поиск приближенного или точного решения интегрального уравнения при заданном значении параметра семейства уравнений λ.
Существует достаточно большое число разных прямых, сводящих решение к системе алгебраических уравнений, и проекционных методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, включая методы квадратур, вырожденных ядер, наименьших квадратов, Галеркина-Петрова, коллокации, подобластей, Ритца, Келлога и др (Кутыркин, 2013;Крачевский, 2017). Важнейшими параметрами эффективности работы методов служат: установление осуществимости и сходимости алгоритма, исследование быстроты сходимости, получение эффективной оценки погрешности, исследование устойчивости решений и доказательство оптимальности использования метода (Агачев,2006). В настоящей работе рассматривается особенности в структуре построения решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью основных методов: последовательных приближений, квадратурного метода конечных сумм, а также при помощи построения резольвенты и вырожденного ядра.

В настоящей работе рассматриваются отдельные классы линейных интегральных уравнений, включая уравнения с переменными и постоянными пределами интегрирования. Основной упор делается на представление некоторых типов решений линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода - с постоянными пределами интегрирования.
Приводятся примеры решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода методами последовательных приближений, квадратурным конечных сумм, построения вырожденного ядра и резольвенты.