Матрицы. Операции над матрицами.

Введение
Глава 1. Матрицы
1.1. Основные понятия
Глава 2. Операции над матрицами
2.1. Сложение матриц
2.2. Умножение матрицы на число
2.3. Перемножение матриц
Заключение
Список литературы

1.1. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Числа m и n называются порядками матрицы. В случае если, m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.
Для записи матрицы применяется либо сдвоенные черточки, либо квадратные скобки:
или .
Для краткого обозначения матрицы используется либо одна большая латинская буква , либо символ , а иногда и с разъяснением:
А = = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).
Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи первый индекс означает номер строки, а второй индекс – столбца.
В случае квадратной матрицы

(1.1)

вводится понятие главной и побочной диагоналей.
Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ , идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. [2 c.
...

2.1. Сложение матриц

Две m×n матрицы и называются равными и пишутся А = В, если для любых индексов i и j.
Суммой двух матриц (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) и (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) одних и тех же порядков m и n называется матрица (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) тех же порядков m и n, элементы которой равны
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (2.1)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется сложением.
Итак, по определению
+=
Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (2.1) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теме же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) Переместительным свойством: А + В = В + А,
2) Сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. [2 с. 11]
2.2.
...

2.2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) на вещественное число называется матрица (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), которой равны
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (2.2)
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись
С = А или С = А. Операция составления произведения матрицы на число называется умножение матрицы на это число.
=
Непосредственно из формулы (2.2) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) Сочетательным свойством относительно числового множителя:
2) Распределительным свойством относительно суммы матриц:
(А + В) = А + В;
3) Распределительным свойством относительно суммы чисел:
()А = А + А. [2 с. 12]
Для матрицы выполняется равенство:
.
Поэтому матрицу обозначают также через и называют противоположной матрице . [4 с. 211]
Замечание.
...

2.3. Перемножение матриц

Произведение матрицы (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p), имеющую порядки, соответственно равные n и p, называется матрица (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы , определяемые формулой
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p). (2.3)
Для обозначения произведения матрицы на матрицу используется запись . Операция составления произведения матрицы на матрицу называется перемножением этих матриц.
Из сформулированных выше определений вытекает, матрицу можно умножить не на всякую матрицу : необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы .
В частности, оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов совпадет с числом строк , а число строк совпадет с числом столбцов . При этом обе матрицы и будут квадратичными, но порядки их будут, вообще говоря, различными.
...

Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2004
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: учебник для вузов. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел.– М.: Высшая школа, 1979.
5. Курош А.Г. Лекции по высшей алгебре. – М.
...