Дополнительные методы расчета определителей высших порядков

Введение
Дополнительные методы расчета определителей высших порядков:
1. Метод выделения линейных множителей
2. Вычисление определителей с помощью реккурентных уравнений
3. Метод представления определителя в виде суммы определителей
4. Метод изменения всех элементов определителя
Заключение
Список литературы

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.
5. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – Физматгиз, 1963.
6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966.
7. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
8. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения. – М.: ИЛ, 1950.
9. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - М.: ГИФМЛ, 1960. -  468 с. 
10. Воробьев Н.Н. Матрицы и определители : Учебно–методическое пособие. – Витебск: Витебский государственный университет им. П.М. Машерова, 2003. – 80 с.
...

Метод выделения линейных множителей
В этом методе определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит и на их произведение.
Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя.
Рассмотрим пример:

Ответом в этой задаче должен быть полином по . Обозначим его  и попробуем догадаться, какие корни он может иметь. Обратим внимание на структуру определителя. Если положить , то вторая строка будет одинаковой с первой, на основании свойства 3 определителя, при этом значении  будем иметь . Аналогично убеждаемся, что . Итак, на основании теоремы Безу, имеем:
где через  обозначен полином, являющийся частным от деления  на произведение линейных множителей. Сначала оценим степень полинома .
...

Вычисление определителей с помощью реккурентных уравнений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя и разлагая его по строке и столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называют реккурентным соотношением. Затем вычисляют непосредственно по общему виду определителя столько определителей низших порядков. Сколько их было в правой части реккурентного соотношения.
Рассмотрим пример:

Представив элемент в правом нижнем углу в виде , можем определитель  разбить на сумму двух определителей:

В первом определителе последний столбец вычтем из остальных, а второй определитель разложим по последнему столбцу:

Это и есть рекуррентное соотношение.
...

Метод представления определителя в виде суммы определителей
Некоторые определители легко вычисляются путем разложения их в сумму определителей того же порядка относительно строк (или столбцов).
Рассмотрим пример:

Определитель раскладывается по первой строке на два определителя, каждый из них по второй строке снова раскладывается на два определителя и т.д. Дойдя до последней строки, получим  определителей.
Если при каждом разложении за первые слагаемые принимать числа , а за вторые — числа , то строки полученных определителей будут либо вида , либо вида . Две строки первого типа пропорциональны, а второго типа равны. При  в каждый получившийся определитель попадут по крайней мере две строки одного типа, и он обратится в нуль.
...

Метод изменения всех элементов определителя
Этот метод применяется в тех случаях, когда путем изменения всех элементов определителя на одно и то же число он приводится к такому виду, в котором легко сосчитать алгебраические дополнения всех элементов. Метод основан на следующем свойстве: если ко всем элементам определителя  D прибавить одно и то же число х, то определитель увеличится на произведение числа х на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя  D. В самом деле, пусть

Разложим D' на два определителя относительно первой строки, каждый из них на два определителя относительно второй строки и т. д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов, равных х, равны нулю. Слагаемые, содержащие одну строку элементов, равных х, разложим по этой строке. Тогда получим:  что и требовалось.
Таким образом, вычисление определителя D' сводится к вычислению определителя D и суммы его алгебраических дополнений.
Рассмотрим пример:
.
...