Введение в нечёткую логику

Введение 2
1 Нечеткие множества 4
1.1 Понятия «четкое множество» и «нечеткое множество» 4
1.2 Операции с нечеткими множествами 5
2 Приложения нечеткой логики 6
2.1 Нечеткое управление. Нечеткие и лингвистические переменные 6
2.2 Примеры и рекомендации по использованию нечеткого управления 8
Заключение 10
Список источников 12

Нечеткая логика представляет собой новую мощную технологию, возникшую в качестве наиболее удобного способа по построению системы управления метрополитеном или каким-либо сложным технологическим процессом, которая в том числе нашла свое применение в области бытовой электроники, системах диагностики и других экспертных системах.
Хотя разработка математического аппарата нечеткой логики впервые была произведена в США, начало активному развитию данного метода было положено в Японии.
В Японии бум, вызванный интересом к нечеткой логике, продолжается до сих пор. Число патентов увеличивается по экспоненте, впрочем, большая их часть имеет отношения к несложным приложениям нечеткого управления.
Термин fuzzy (в переводе с англ. нечеткий, размытый – фонетически [фаззи]) с течением времени стал ключевым словом на рынке. О популярности, обретенной технологией нечеткой логики, говорит хотя бы то, что статьи, посвященные электронике, лишенной нечетких элементов, со временем стали исчезать, и исчезли совсем, словно кто-то перекрыл кран. Это прекрасно характеризует популярность, которую обрела нечеткая логика.
В Японии исследования, направленные на нечеткую логику, нашли обширную финансовую поддержку. Соответственно, Европе и Америка бросили все усилия на сокращение огромного технологического разрыва по сравнению с японскими технологиями. К примеру, агенство космических исследований NASA начало применять нечеткую логику для маневров стыковки.
Нечеткая логика представляет собой многозначную логику, что позволяет дать определения промежуточным значениям для таких общепринятых оценок, как данет, истинноложно, черноебелое и т.п.
Нечеткая логика – это обобщение традиционной аристотелевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: "очень истинно", "более-менее истинно", "не очень ложно" и т.п. [1, разд. 1.7]
Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами. 

На первый взгляд, сочетание слов «нечеткий» и «логика» в одном предложении режет…слух. Логика – в своем обычном смысле – подразумевает представление механизмов мышления, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда является строгим и формальным.
Тем не менее, математики, занятые изучением этих механизмов мышления, обнаружили, что на самом деле существует более, чем единственная логика (к примеру, булева), а сколько угодно логик, сколько мы пожелаем, поскольку все определяется исключительном выбором соответствующей системы аксиом (своеобразной системы отсчета).
Конечно, после того, как аксиомы определены, все утверждения, которые будут построены на их основе, должны быть в строгом порядке, избегая противоречий, взаимосвязаны друг с другом в соответствии с правилами, установленными для этой системы аксиом.
Булева логика представляет собой логику, связанную с булевой теорией множеств; по аналогии, нечеткую логику связывают с теорией нечетких подмножеств. Единая теория нечетких подмножеств отсутствует, как факт – каждый вправе построить их в таком количестве, в каком пожелает.
Хорошо известно, что аппаратом нечетких множеств и нечеткой логики уже достаточно давно (более 10 лет) с большим успехом пользуются для решения задач, в которых данные на входе не надежны и/или в слабой степени формализованы. Сильные стороны такого подхода:
• описание условий и метода решения задачи на языке, близком к естественному;
• универсальность: согласно знаменитой теореме FAT (Fuzzy Approximation Theorem), доказанной Б.Коско (B.Kosko) в 1993 г., любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике;
• эффективность (связана с универсальностью), поясняемая рядом теорем, аналогичных теоремам о полноте для искусственных нейронных сетей, например, теоремой вида [5, с.10]:
для каждой вещественной непрерывной функции , заданной на компакте U и для произвольного 0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функцию f(х) такую, что:

где – символ принятого расстояния между функциями.
Вместе с тем, нечеткие экспертные и управляющие системы обладают так же и рядом недостатков:
1) исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым;
2) вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут оказаться не вполне отражающими реальную действительность.
Конечно, в рамках этой работы мы ограничились исключительно введением в соответствующую проблематику. Но не вызывает сомнений, что развитие в данном направлении будет тем быстрее, чем больше будет инженеров, способных перенять от математиков эту новую, стимулирующую воображение, теорию.