Теории катастроф

Введение 2
1. История создания теории катастроф 3
2. Семь элементарных катастроф по Тому 4
3. Потенциальные функции с одной активной переменной 4
Катастрофа типа "Складка" 4
Катастрофа типа "Сборка" 5
Катастрофа типа "Ласточкин хвост" 7
Катастрофа типа "Бабочка" 8
Потенциальные функции с двумя активными переменными 8
Зонтик Уитни - Кэли 9
4. Запись и классификация катастроф по Арнольду 9
Заключение 11
Список использованной литературы 12

1. История создания теории катастроф
Начало математической теории катастроф положили классические работы великого российско-немецкого математика Леонарда Эйлера по теории устойчивости - многообразной дисциплине, изучающей закономерности поведения систем под действием внешних воздействий. В работах Эйлера наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем. Действительно, именно механика как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами устойчивости. Эйлер впервые строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой (эластика Эйлера).
Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем).
...

2. Семь элементарных катастроф по Тому
Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства.
...

Катастрофа типа "Складка"
Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа "складка". При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.
Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».
...

Катастрофа типа "Сборка"
Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.
Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a, b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением.
...

Катастрофа типа "Ласточкин хвост"
Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из
трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа "ласточкин хвост"».
По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа "свёртка" пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c.
...

Заключение
Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин – топологии и математического анализа. Её источниками являются теория особенностей гладких отображений Х. Уитни, а также теория устойчивости и бифуркаций динамических систем А. Пуанкаре, А. Ляпунова, А. Андронова. Оба эти направления слились, благодаря усилиям французского математика Р. Тома, в единую теорию, которая получила название – теория катастроф.
При изучении свойств решений дифференциальных уравнений сначала необходимо явно оценить полное множество решений и лишь потом анализировать их свойства. Проблем не возникает, если это линейная, лучше стационарная система дифференциальных уравнений. Для нелинейных систем полное множество решений можно построить для уравнений второго порядка (например, методом фазовой плоскости).
Основы современного подхода к определению качественных изменений в поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаpe в конце 19 века.
...