Элементы математической логики

Содержание
Введение
Глава 1. Основные понятия математической логики
1.1. Математическая логика как наука
1.2. Высказывания и их виды
1.3. Высказывательные формы
1.4. Высказывания с квантором и их отрицание
1.5. Логические операции и законы логики
Глава 2. Теоретические основы доказательных рассуждений
2.1. Понятие умозаключения. Виды умозаключений
2.2. Теорема, ее структура. Виды теорем
Заключение
Список использованной литературы

1.1. Математическая логика как наука
Логика – это наука о законах, методах и формах мышления. Она пришла к нам из философии. Основоположником логики считается древнегреческий философ Аристотель. Первое дошедшее до нас сочинение по логике - это "Аналитики" Аристотеля. В них рассматриваются основы силлогистики - правила вывода одних высказываний из других.
Логика как наука продолжалась развиваться на протяжении многих веков благодаря отдельным философам и целым философским школам.
Значительный прогресс в этой области произошел в 1854 году, и связан с выходом научной работы Джорджа Буля (1815-1864) «Исследование законов мысли», где он систематизировал и обобщил все знания в этой области, ввел такие понятия как математический язык и математические методы.
Таким образом, в конце XIX — начале XX веков были заложены основы, так называемой, математической или символической логики.
...

1.2. Высказывания и их виды
Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.
Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл поставить вопрос, истинно оно или ложно [1, 8].
Например, предложение «Число 6 четное» есть истинное высказывание, а предложение «2+4=32» - ложное высказывание.
Вообще каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина или 1), если оно истинно, и Л (ложь или 0), если оно ложно. Значение И и Л называют значениями истинности высказывания. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.
В логике считают, что из двух простых (элементарных) высказываний можно образовать новые высказывания, используя для этого союзы «и», «или», частицу «не». Эти служебные слова называют логическими связками. Высказывания, образованные из простых высказываний с помощью логических связок, называют составными.
...

1.3. Высказывательные формы
В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных. Например: х˂3; х+у=8. Эти предложения не являются высказываниями, так как относительно их не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти предложения обращаются в высказывания (истинное или ложное). Так, если в предложение х˂3 подставить х=2, получим истинное высказывание 2˂3, а при х=4 оно обращается в ложное высказывание 4˂3.
Предложения такого типа называются высказывательными формами. Каждая высказывательная форма порождает высказывание одной и той же формы. Например, предложения х˂3 позволяет получить высказывания вида: 1˂3, 2˂3, 5˂3, 10˂3 и т.д.
Высказывательная форма х˂3 содержит одну переменную. Такие высказывательные формы называются одноместными. Предложение х+у=8, содержащее две переменные, есть двухместная высказывательная форма.
...

1.4. Высказывания с квантором и их отрицание
Слова «квантор» латинского происхождения «quantum» и означает «сколько».
Квантором называют символ математической логики, указывающий на определенную математическую операцию, которую необходимо осуществить, чтобы дать количественную характеристику некоторой области объектов.
Таким образом, квантор показывает, о скольких объектах (элементах) говорится в том или ином высказывании.
Различают кванторы общности и существования.
Кванторы общности – это служебные слова «любой», «всякий», «каждый», «все». Его формула имеет вид
Кванторы существования - это служебные слова «существует», «некоторые», «найдется», «хотя бы один». Его формула имеет вид () А(х).
Таким образом, если перед одноместной высказывательной формой поставить какой-либо квантор, то получаем высказывание.
...

1.5. Логические операции и законы логики
Над высказываниями и высказывательными формами можно выполнять логические операции, с тремя из них мы познакомились в §2. Это три базовые логические операции - конъюнкция, дизъюнкция и отрицание и дополнительные - импликация и эквивалентность. Предварительно заметим, что аргументами этих операций являются простые логические выражения, а их результат равен 1 или 0 (логические значения) и определяется по соответствующей таблице истинности.
1) Логическое умножение или конъюнкция:
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И »сложное высказывание также считается  ложным. [5]
Обозначение: F = A B (читают «А и В»).
...

2.1. Понятие умозаключения. Виды умозаключений
Большую часть знаний об окружающем нас мире мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассуждения, а таким считают рассуждение, построенное по правилам логики.
В логике вместо термина «рассуждение» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение  - эта форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание [1].
Умозаключения бывают разные. Среди умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику, выделяют:
•  дедуктивные умозаключения;
• индуктивные умозаключения;
• рассуждения по аналогии.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: "Число 23 - двузначное.
...

2.2. Теорема, ее структура. Виды теорем
В курсе алгебры и геометрии основной школы мы изучаем такие математические предложения, как: аксиомы, теоремы, следствия и др. Аксиомы мы рассматриваем как истинные утверждения (высказывания) и принимаем им без доказательства. Теоремы, как правило, доказываются, т. е. выводятся как следствия из определений, аксиом и ранее доказанных свойств. Некоторые теоремы в геометрии иногда мы называем следствиями, свойствами или признаками. В алгебре - формулами, тождествами, прави­лами. Несмотря на разные названия, эти предложения имеют одинаковую структуру. Поэтому будем называть их все теоремами [10].
Теоремой будем понимать математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством рассуждений (доказательства) [1].
В любой теореме можно выделить условие (что дано), заключение (что требуется доказать) и разъяснительную часть.
...