Проектирование электронного курса по методам решения задач математической физики в среде Maple

Введение 2
Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Методы их решения. 4
1.1 Дифференциальные уравнения в частных производных 4
1.2 Использование дифференциальных уравнений с частными производными в науке и технике 6
Глава 2. Дистанционное обучение. Постановка задачи 9
2.1 Дистанционное обучение в ГУМРФ 9
2.2. Постановка задачи 9
Глава 3. Основные задачи теории ДУ с частными производными. 11
3.1 Распространение тепла в стержне 11
3.2. Вывод волнового уравнения 12
3.3. Общие сведения об уравнении Лапласа. 13
3.3.1. Уравнение Лапласа в декартовых и в полярных координатах 13
3.2.4. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье 15
Глава 4. Метод Фурье для решения уравнений 22
Глава 5. Разработка электронного курса 26
5.1 Архитектура проекта. 26
5.2. Главный модуль 27
5.3. Обучающие модули 27
Заключение 69
Библиографический список 70

Для нахождения решения научных и инженерных задач постоянно возникает потребность математического описания заданных систем. Математическая модель очень часто сводится к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений. Примером дифференциальных уравнений, которые возникают при решении такого рода задач, являются уравнения в частных производных. Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют находить решение в виде аналитических функций, однако эти методы применимы для достаточно ограниченного класса функций. Большинство уравнений и их систем, которые встречаются при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях применяют численные методы решения, которые дают решение дифференциальных уравнений и их систем не в виде аналитических функций, а в виде таблиц значений функций в зависимости от значений переменных. Применяется несколько методов численного нахождения решений дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результатов.
В настоящее время существует большое число различных профессиональных программных продуктов (например, Maple, MаthСАD, MаtLАB и т.д.), применяя которые, можно, задав исходные данные, найти решение большого количества задач.
Применение таких программных продуктов дает возможность значительно сократит затраты времени и ресурсов при решении ряда важнейших задач. Следует отметить, что применение этих программных продуктов без тщательного анализа методов, с помощью которых решаются задачи, нельзя дать гарантию, что задачи будут решены верно.
Современные технологии позволяют студентам обучаться не только на аудиторных занятиях в ВУЗе, но и удаленно. В сети Internet можно найти множество ресурсов по решению волновых уравнений, где представлена информация о методах решения, но она не всегда систематизирована, не всегда для разъяснения используются примеры, часто материал перегружен теорией (выводами и доказательствами). К тому же не все описанные методики поясняются на примерах, что значительно упростило бы понимание материала.
Целью выполнения данного дипломного проекта является создание обучающего электронного ресурса для нахождения решений дифференциальных уравнений в частных производных, реализованного при помощи пакета Maple.
Для достижения цели дипломной работы поставлены следующие задачи:
1. Изучить предметную область – решение уравнений в частных производных методом Фурье (методом разделения переменных) в случае уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов;
2. Рассмотреть детали применения основных алгоритмов решения с использованием пакета Maple;
3. Создать электронный ресурс;
4. Разработать методику применения данного электронного средства обучения.
Теоретической базой дипломной работы являются труды отечественных и зарубежных ученых, а также техническая документация по среде математических вычислений Maple.
В дальнейшем этот курс будет размещен на образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова для доступа к нему студентов и курсантов ВУЗа.
Курс состоит из модулей с отдельной темой в каждом из них, что позволяет в дальнейшем расширить курс, добавив в него новые разделы на усмотрение преподавателя.

Современные ЭВМ дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания. С необходимостью решения крупных научно-технических проблем и распространением ЭВМ связано бурное развитие численных методов и становление новой науки – вычислительной математики. Численными методами решаются многие задачи математической физики, описанные, в частности, интегральными уравнениями, которые применяются практически во всех областях жизни человека.
В результате проделанной работы был реализован электронный курс по методикам решения уравнений в частных производных различных типов. Данный электронный курс будет размещен на образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова. В перспективе курс может быть расширен, путем добавления в него новых модулей по недостающим темам.
Использовать этот проект смогут как студенты непосредственно для изучения интересующих их тем, так и преподаватели. Для преподавателей это может быть демонстрационный материал на внутриаудиторных занятиях, материал для дополнительного изучения студентами, источник домашних заданий по решению интегральных уравнений.
В рамках дипломной работы использовался пакет Maple, как наиболее распространенный и понятный большинству студентов инструмент. Цель курса – научить решать интегральные уравнения самостоятельно, даже без помощи технических средств, а потому в работе используется Maple, исключительно как вспомогательный инструмент для решения простых, но громоздких операций, тем самым он экономит время и не отвлекает от основной цели курса.
По итогу изучения курса студент получит навыки решения интегральных уравнений, которые он проверит решив проверочные задания. Задача, поставленная в дипломной работе достигнута.