Теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка

Введение 2
I. Линии и поверхности второго порядка на евклидовой плоскости и пространстве 4
1.1. Общее понятие о линии и поверхности второго порядка. 4
1.2. Классификация линий и поверхностей второго порядка 7
1.2.1. Принципы аффинной классификации линий и поверхностей. 7
1.2.2. Аффинная классификация линий второго порядка 8
1.2.3. Аффинная классификация поверхностей второго порядка 12
II. Инварианты уравнений линий второго порядка 17
2.1. Инварианты и семиинварианты многочленов второй степени с двумя переменными 17
2.2. Определение класса линии второго порядка и ее канонического уравнения при помощи инвариантов. 24
2.3. Центр линии второго порядка. 33
2.4. Признаки уравнений окружности, равносторонней гиперболы и пары перпендикулярных прямых 37
III. Инварианты уравнений поверхности второго порядка 42
3.1. Инварианты и семиинварианты многочленов второй степени с тремя переменными 42
3.2. Определение класса поверхности второго порядка и ее канонического уравнения при помощи инвариантов. 51
3.3. Центр поверхности второго порядка 59
3.4. Признак уравнения сферы 61
IV. Приведение к каноническому виду линий и поверхностей второго порядка, заданных своими общими уравнениями относительно ДПСК. 64
Заключение 72
Список литературы 74
Приложение 76

Во всех видах практической деятельности и познании природы мы постоянно сталкиваемся с кривыми и поверхностями самой различной формы. Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность.
Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» (т. е. эллипсоиды вращения) и «коноиды» (т. е. параболоиды и двухполостные гиперболоиды вращения), но он смотрел на них лишь как на «тела», имея целью определение их объемов.
Во второй половине XIX в. было введено важное новое понятие – инвариант. Простейшим инвариантом были, так называемые, постоянные коэффициенты, которые имели буквенное, а не чисто цифровое значение. Значительный вклад в теорию инвариантов внес Гильберт (знаменитая Теорема об инвариантах).
При рассмотрении, например, многочлена 2-й степени с двумя переменными оказывается, что существуют такие выражения, составленные из коэффициентов, которые при этом преобразовании численно не меняются, хотя сами коэффициенты их меняются. Выражения такого рода называются инвариантами по отношению к группе ортогональных преобразований, то есть по отношению к преобразованиям от одних прямоугольных координат к любым другим прямоугольным координатам.
Методологический аппарат данной выпускной квалификационной работы включает в себя объект, предмет, цель исследования и задачи.
Объектом данной работы являются линии и поверхности второго порядка.
Предметом работы является теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка.
Целью является изучение и систематизация теоретического материала по теме «Теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка».
В рамках достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
изучить общие сведенья о линиях и поверхностях второго порядка;
рассмотреть инварианты линий и поверхностей второго порядка;
рассмотреть применение теории инвариантов к изучению свойств классов линий и поверхностей второго порядка;
самостоятельно подобрать и решить задачи по исследованной теме.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, четырёх параграфов, практической части, заключения, приложения.
В первом параграфе рассматриваются линии и поверхности второго порядка на евклидовой плоскости и пространстве, во втором – инварианты уравнений линий второго порядка, в третьем – инварианты поверхностей второго порядка, в четвертом – рассмотрены примеры решения задач по данной теме, в приложении приведен пример как определить зависимость типа кривой от параметра β с помощью инвариантов

!!!