ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ НЕТЕРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочис-ленных приложениях (в теории упругости, теории пластичности, гидродинамике, тео-рии массо- и теплопереноса, теории управления, химической технологии, биомеханике, теории массового обслуживания, экономике, медицине и др.).
В современной математике и её приложениях большую роль играют линейные уравнения
,
где и - соответственно искомый и заданный элементы линейных пространств.
Первый этап развития теории линейных операторов составляют исследования Г.Крамера, Э.Руше, Л.Кронекера и А.Капелли, в которых построена классическая тео-рия линейных алгебраических уравнений в евклидовых пространствах. Обобщение теории произошло в связи с развитием математической физики, главным образом в ис-следованиях И.Фредгольма по уравнениям, которые принято называть интегральными уравнениями Фредгольма второго рода (альтернативы Фредгольма – три знаменитых теоремы о таких уравнениях).
Позже в трудах Д.Гильберта и Т.Калермана была построена теория уравнений в классе квадратично-суммируемых функций. Далее в работах Д.Гильберта и А.Пуанкаре рассматривались сингулярные интегральные уравнения и соответствующие краевые задачи теории аналитических функций. Первые основополагающие результаты по теории сингулярных уравнений с ядрами Гильберта и Коши были получены Ф.Нетером и Т.Калерманом. С.М.Никольскому принадлежат важные утверждения о том, что в банаховом пространстве линейный оператор Фредгольмов тогда и только тогда, когда имеет место представление в виде суммы взаимно однозначного и непрерывно обратимого оператора и вполне непрерывного.
Сингулярные интегральные уравнения особенно важное значение приобрели всвязи с решением сложных и глубоких вопросов механики сплошной среды (теория упругости, гидродинамики и аэромеханики).
Дальнейшее развитие теория операторов Нетера сингулярных интегральных уравнений получила в трудах Н.Винера, Э.Хопфа, М.Г.Крейна, Н.И.Мусхилишвили, Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского и др.
Данная работа представляет собой изложение теории операторв Нетера и при-менения её в решении уравнений, даны примеры решения конкретных уравнений.
Работа может быть использована для разработки пособия для специальных кур-сов по интегральным уравнениям и уравнениям математической физики, а также для самостоятельного изучения уравнений с опараторами Нетера.

Введение 3
1. Основные положения теории операторов Нетера………………………………. 5
1.1. Определения и основные теоремы………………………………………….. 5
1.1.1. Разложение пространств и в прямые суммы…………………8
1.2. Сужение нетерова оператора В на пространство…………………………... 10
1.2.1. Связь с сопряжённым уравнением. Нормальная разрешимость…… 15
1.3. Фактор-пространства………………………………………………………… 17
1.3.1. Условия принадлежности линейного оператора к классу операторов Нетера................................................................................................ 20
2. Регуляризация операторов Нетера………………………………………………. 26
2.1. Регуляризация операторов…………………………………………………... 26
2.1.1. Свойства операторов Нетера………………………………………….. 28
2.1.2. Теоремы о возмущении операторов Нетера............…………………. 36
2.2. Характеристические операторы…………………………………………….. 40
2.3. Эквивалентная регуляризация операторов и уравнений…………………... 45
3. Примеры операторов Нетера…………………………………………………….. 49
Заключение…………………………………………………………………………... 56
Список использованных источников………………………………………………. 57
Приложения…………………………………………………………………………... 59