[РГГУ] Методы оптимальных решений (итоговая контрольная работа)

РГГУ Российский государственный гуманитарный университет.

Дисциплина - Методы оптимальных решений. Итоговая контрольная работа.

Задание 1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции f(x,y)=(x-1)^3-6xy+y^3. Выпуклы ли построенные области?

Задание 2. Задачу нелинейного программирования привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.

Задание 3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.

Задание 4. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами x_1+2x_2≤4,4x_1+x_2≤4 и x_1,2≥0, критерии заданы соотношениями z_1=2x_1+x_2,z_2=2x_2, а целевая точка совпадает с идеальной точкой z^*, отклонение от которой задается функцией ρ(z,z^* )=max{(z_1^*-z_1 ),(z_2^*-z_2 ) }. Найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z^*. Изобразить линии уровня функции ρ(z,z^* ). Графически решить задачу нахождения достижимой точки (z_1^',z_2^' ), дающей минимум отклонения от идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования.

Задание 5. Рассмотреть задачу двухкритериальной оптимизации

z1=F1 (x)=2x1+5x2+4x_3→max,

z2=F2 (x)=-5x1+x2-4x_3→max,

на множестве допустимых решений X∈E^3

2x1^2+x2^2+(x3+1)^2≤1,

x1≥0,x2≥0,x3≥0.

Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев

ϕ(z_1,z_2 )=0,6z_1+0,4z_2.

Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.