Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 06 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 06 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 06 (9 заданий)

1. На книжной полке случайным образом расставлены 10 томов одного справочного издания. Найти вероятность того, что все чётные тома окажутся стоящими рядом в одной группе, а все нечётные – рядом в другой группе.

2. Дана схема включения элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, 3 …), а событие B – отказ цепи за время T (прекращение тока в цепи). Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.

2.2. Найти вероятность события B.

2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

3. Партия резисторов изготовлена двумя заводами, причём продукции первого завода в 2 раза больше, чем второго. Вероятность брака на первом заводе равна 0,04, на втором – 0,06. Найти вероятность того, что случайным образом взятая деталь партии:

3.1. оказалась бракованной;

3.2. изготовлена первым заводом, если при проверке она оказалась бракованной.

4. При однократном забросе спиннинга рыба попадается (событие A) с вероятностью P(A).

4.1. Сколько требуется сделать забросов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,8 поймать хотя бы одну рыбу при P(A) = 0,1?

4.2. С помощью интегральной приближённой формулы Муавра-Лапласа найти вероятность того, что событие A произойдёт не более пяти раз при числе опытов n = 100 и P(A) = 0,02.

5. Цель поражается при попадании одного осколка разорвавшегося снаряда с вероятностью 0,5, при попадании двух – с вероятностью 0,8, при попадании трёх и более – с вероятностью 1. Количество осколков, попавших в цель, – случайная величина, распределённая по закону Пуассона с параметром 2. Найти вероятность поражения цели.

6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:

Найти:

6.1. C;

6.2. F(x);

6.3. mX;

6.4. DX;

6.5. sX;

6.6. P(|X – mX| < sX);

6.7. x1/4 – нижнюю квартиль.

6.8. Построить графики f(x) и F(x).

7. На станке изготавливаются болты с номинальным значением диаметра 26 мм. Отклонение X диаметра от номинала есть случайная величина, распределённая нормально с математическим ожиданием mX = – 0,01 мм и средним квадратическим отклонением sX = 0,002 мм. Болт считается годным, если его диаметр попадает в промежуток [25,985 мм; 25,995 мм] (иначе говоря, выполняются неравенства – 0,015 мм < X < – 0,005 мм). Найти процент брака.

8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров. Отклонения ранжируются. Ранги X, Y отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1. Распределение двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей.

Y

X 0 1

0 p11 p12

1 p21 p22

Здесь:

p11 = 0,8, p21 = 0,02, p12 = 0,1, p22 = 0,08.

Найти коэффициент корреляции rXY, называемый ранговым.

9. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:

Найти:

9.1. C;

9.2. fX(x), fY(y);

9.3. mX, mY.

9.4. sX, sY;

9.5. rXY.

9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.