Вычисление интегралов, выполнено 7 заданий

Содержание

Задание 1.1........................................................................................................ 3
Задание 1.2........................................................................................................ 5
Задание 1.3........................................................................................................ 5
Задание 1.4........................................................................................................ 5
Задание 1.5........................................................................................................ 6
Задание 1.6........................................................................................................ 8
Задание 1.7........................................................................................................ 9

Выполнены 7 заданий на 5

1.1 Вычислить неопределенный интеграл

a)
воспользуемся тригонометрической формулой разложения произведения косинусов в сумму.

1.2 Вычислить определенный интеграл
а) ;
дважды интегрируем по частям, все время ставим экспоненту под дифференциал.
1.3 Вычислить несобственный интеграл

а) ;
подынтегральное выражение не определено в точке , то есть это несобственный интеграл 2 рода
1.4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .
Находим точки пересечения: .
Изображаем рассматриваемую фигуру:
1.5 Исследовать на сходимость числовой ряд.
a) ;
Числовой ряд сходится, так как это степенной ряд со степенью большей 1 в знаменателе. При каждом натуральном выполнено
. Значит, по 1 признаку сравнения ряд сходится
1.6 Найти область сходимости рядов.
а) ;
Пусть тогда
.
Не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится.
Пусть тогда при достаточно большом
1.7 Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .
Раскладываем дробь на простейшие
;
;
При пользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии
;