Решены 2 контрольные работы по математике на 5

Решения задач

Без введения

Задание 1 Построить график функции (а) способом сдвига и деформации графика функции (б). Найти область определения и значения функции (а) :
10в. a) y = - cos((x/2)-2); b) y = cosx
Решение:
Возьмем стандартный график косинуса :
Задание 2 Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
10в. а) б)
Задание 3 Найти точки разрыва функции и установить их характер. Указать односторонние пределы в точках разрыва. Построить график функции:

10 в
Задание 4 Найти производные первого порядка данных функций:

10в
Задание 5 Построить график функции у=f(x), используя общую схему исследования функции.

10в а)

Решение:
Функция всюду определена и непрерывна (график - кубическая парабола).
Находим нули функции.


Задание 6 Исследовать на экстремум функцию :
10в


Задание 7 Задана функция . Найти градиент и производную этой функции в заданной точке М в направлении вектора , составляющего угол с положительным направлением оси ОХ

10в ;
Задание 8 Выполните действия в алгебраической форме. Результаты запишите в тригонометрической и показательной формах

10в

Задание 9 Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице. В результате их выравнивания получена функция у = ах + b. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры а и b. Выяснить, какая линия (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
10в.
х 1 1,5 2 2,5 3
у 2,2 3,9 5,8 8,8 12,3

Решение:
По формулам метода наименьших квадратов


Задание к контрольной работе № 2

Задание 1 Вычислить неопределенные интегралы
10в

Задание 2 Вычислить определенный интеграл

10в




1.

(по формуле Ньтона-Лейбница)
2.


;
Воспользовались тем, что при и при , поэтому корень раскрывается на этих интервалах по-разному.
3.



Задание 3 Вычислить площадь, ограниченную данными параболами
10в

Решение:
Первая парабола ветвями вверх, вторая – ветвями вниз. Находим их точки пересечения:

Изображаем рассматриваемую фигуру:


Считаем площадь:




Задание 4 Вычислить несобственный интеграл или определить его расходимость.
10в


Решение:
Раскладываем подынтегральную дробь
;
;
Метод неопределенных коэффициентов
;
;
;

;

Третье слагаемое есть расходящийся интеграл (гармонический).
Значит, и весь интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.


Задание 5 Найти частное решение дифференциального уравнения
10в. y'' - 4y' + 5y = 2x2ex, y(0) = 2, y'(0) = 3
Решаем сперва однородное уравнение
;
Характеристическое уравнение
;
Корни комплексно-сопряженные ;
Общее решение
;
Ищем частное решение в виде ; по формуле производной произведения
;

Подставляем в уравнение:


Значит, коэффициенты при каждой степени переменной равны нулю.

Частное решение
Общее решение уравнения


;
Подставляем в начальные условия:
;
Ответ:




Задание 6 а) Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд;
б) Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующий ряд;
с) Найти радиус сходимости степенного ряда и область сходимости степенного ряда.
10в а)
10в б)
10в с)


а)
Найдем предел отношения соседних членов ряда:

;
Данный знакоположительный ряд сходится по признаку Даламбера.
б)
Рассмотрим функцию ;
Находим её производную:
при .
Значит, последовательность монотонно убывает начиная с .
Предел этой последовательности
;
Значит, наш знакочередующийся ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Абсолютной сходимости нет, так как
при и ряд расходится (гармонический).
Ответ: данный знакочередующийся ряд сходится условно, но не сходится абсолютно.
10в с)
Находим радиус сходимости
;
При ряд сходится абсолютно.
ряд расходится.
При получаем ряд с модулем , он расходится, та как модуль члена не стремится к нулю.
Ответ:




Задание 7 Вычислить определенный интеграл с точностью до  = 10-3 , разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем почленно проинтегрировав.

Решение:
Запишем разложение арктангенса в ряд Тейлора-Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
, для некоторого .
; ;
Рассматриваем приближение
; погрешность приближения
;
Оцениваем погрешность вычисления интеграла:
;
Получаем приближенное значение интеграла: