Лабораторная работа №4 Метод сеток для задачи Дирихле

Уравнение (2.3) вместе со значениями u_ik в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u(x, y) в узнал (x_i, y_k). Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и для l=k. В этом случае уравнения (2.3) записывается следующим образом

Первая краевая задача для, или задача Дирихле для уравнения Пуасона.
∆u=(∂^2 u)/〖 ∂x〗^2 +(∂^2 u)/〖 ∂y〗^2 =f(x,y) (2.1)
Ставится следующим образом: найти функцию u = u(x,y), удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению (2.1), а на границе Г – условию
U|г = φ(x,y) (2.2)
Где φ(x,y) – заданная непрерывная функция.
Выбирая шаги h и l по x и y соответственно строим сетку
x_i=x_0 + ih (i=0,±1,±2,…),
y_k = y_0 + kl (k=0, ±1,±2,…)
и заменяем в каждом внутреннем узле (x_i, y_k) производные (∂^2 u)/〖 ∂x〗^2 ,(∂^2 u)/〖 ∂y〗^2
конечно-разносными отношениями, а уравнение (2.1) – конечно-разносными уравнениями
(u_(i+1,k)+2u_ik+u_(i-1,k))/h^2 +(u_(i,k+1 )-2u_ik+ u_(i,k-1))/l^2 =f_ik (2.3)
Где f_ik = f(x_i, y_k),