Теория вероятностей и математическая статистика (вариант 6, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации)

Задачи по предмету "Теория вероятностей и математическая статистика" (вариант 6) были сделаны в январе 2018 года для Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.
Пять задач.
Работа была успешно защищена - претензии от заказчика не было.

Задание 1
Пловца в команду принимают следующим образом. Сначала он должен проплыть 100 м за определенное время. Если справится, то 400 м за определенное время. Если и с этим справится, тогда километровую дистанцию за определенное время. Два спортсмена претендуют на место в команде, причем первый вовремя преодолевает соответствующие дистанции с вероятностями 0,7, 0,9 и 0,8, а второй - с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что в команду:
а) будет принят первый из них;
б) будет принят хотя бы один из них;
в) будут приняты оба;
г) будет принят только один из них.
Задание 2
В партии из 8 деталей 6 деталей - стандартные. Наугад отбираются две детали.
Составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных.
Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.
Задание 3
Вероятность того, что пользователь предпочитает Windows 10 предыдущим операционным системам Windows, равна 0,4.
В компьютерном отделе 4 человека. Какова вероятность того, что большинство из них предпочитают Windows 10?
Какова вероятность того, что среди 200 пользователей половина предпочитает Windows 10? Какова вероятность того, что число таких пользователей заключено в интервале от 70 до 100?
Задание 4
Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города (выбрано 400 вкладчиков из 10000 по схеме собственно-случайной бесповторной выборки), таблица 2.

Таблица 2 - Исходные данные
Размер вклада, тыс. руб До 50 50-80 80-100 100-120 Свыше 120
Число вкладов 32 56 92 120 100

Найти:
а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 80 тыс. руб.;
в) объем повторной выборки, при которой те же границы для доли вкладов (см. п.б) можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.

Задание 5
Распределение 60 однотипных предприятий по затратам на повышение квалификации работников (ξ, тыс. руб) и количеству работников, уволившихся по собственному желанию (η, чел) представлено в таблице 5.

Таблица 5 - Исходные данные
Затраты на повышение квалификации, ξ, тыс. руб Количество уволившихся сотрудников, η, чел
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
10-15 1 2 3
15-20 2 6 4
20-25 1 8 7 3
25-30 1 5 7 2
30-35 2 4 2

Необходимо:
Вычислить групповые средние (x_i ) ̅ и (у_i ) ̅, построить эмпирические линии регрессии.
Предполагая, что между переменными ξ и η существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α=0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными ξ и η;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, вычислить среднее количество уволившихся сотрудников при затратах на повышение квалификации, равных 27,5 тыс. руб. и сравнить его с групповой средней