Высшая математика, 5 задач, вариант 1

Работа выполнена в word, была проверена и зачтена без доработок. ...

Решение Пусть дано уравнение стороны квадрата, на которой расположены вершины А и В, АВ: .
1. Найдем уравнение диагонали ВD. Известно, что все углы квадрата прямые, а диагонали квадрата делят его углы пополам. Значит, угол между прямыми АВ и BD составляет 450. Применяем формулу
.
Из уравнения прямой АВ . Тогда , , , , .
Известно, что диагональ ВD проходит через точку Р(-1, 1), поэтому по формуле

запишем ее уравнение:
или ВD : .
2. Вычислим координаты точки В, находя пересечение прямой АВ и диагонали BD:
 , , .
Точка B(1.4, 2.2).

1. Дана система линейных уравнений
2x1+x2-4x3=2
4x1+3x2-x3=8
6x1+5x2-3x3=14
Исследовать ее на совместность и в случае совместности решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.
11. Даны векторы a=(5,7,-2), b=(-3,1,3), c=(1,-4,6) ,d=(14,9,-1) в некотором базисе. Показать, что векторы a , b ,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
21. Уравнение одной из сторон квадрата: x+3y-8=0 . Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(-1, 1) - точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
31. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой расстояния до начала координат и до точки А(6, 0) относятся как 2:1.
41. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3А4.
Найти: 1) проекцию вектора A1A3 на вектор A1A2; 2) Угол между ребрами A1A4 и A1A2; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2А3; 4) площадь грани A1A2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение плоскости A1A2А3 и расстояние от точки А4 до этой плоскости; 7) уравнение прямой A1A2 и расстояние от точки А4 до этой прямой; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3; 9) проекцию точки А4 на грань A1A2А3. Сделать чертеж.
A1(5,2,7), A2(7,6,9), A3(7,6,3), A4(1,5,2)