Методика изучения неравенств и системы линейных неравенств в средней школе

Курсовая работа для студента педагогического вуза по дисциплине: математика. Разработан конспект и технологическая карта в рамках последнего ФГОС. Уникальность на момент написания высокая. Все оформлено правильно, все пропуски, запятые и тд.
Список литературы по ГОСТ. ...

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3
1. Теоретические основы методики изучения неравенств и системы линейных неравенств в средней школе 5
1.1. Цели изучения неравенств в средней школе 5
1.2. Сравнение методик преподавания темы неравенств и системы линейных неравенств в учебниках по алгебре 8
1.3. Различные способы обоснований решений неравенств 12
2. Разработка конспектов уроков 17
2.1. Урок на тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной» 17
Заключение 26
Список литературы 28

 

Учебный материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике организовано в отдельную содержательно-методическую линию.
Значимость неравенств определяется как теоретико-математической направленностью (здесь неравенства выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение неравенств к решению различного рода задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира).
Отметим, что умение школьников решать неравенства является обязательным компонентом при проведении итоговой аттестации учащихся.
Актуальность исследования заключается в том, что для успешной сдачи экзаменов и для того, чтобы уметь решать задачи на сравнения, детям необходимо овладеть навыками решения неравенств. При этом, тема неравенств зачастую вызывает существенные затруднения у учеников, что говорит о необходимости особого внимания к данной теме.
Таким образом, целью данного исследования является анализ методики изучения неравенств и системы линейных неравенств в средней школе.
Объектом исследования является процесс обучения на уроках алгебры в средней школы.
Предметом исследования является методика изучения неравенств и систем линейных неравенств.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач, основные из которых следующие:
- ознакомление с целями изучения неравенств в средней школе;
- анализ этапов изучения неравенств в средней школе;
- определение различных способов обоснований решений неравенств;
- разработка конспектов уроков по изучению темы неравенств.
Теоретической основой исследования послужили труды современных отечественных и зарубежных авторов по проблемам преподавания алгебры в средней школе.
Практическая значимость исследования заключается в возможности использования разработанных конспектов в процессе изучения неравенств и системы линейных неравенств в средней школе.
При написании курсовой работы были применены такие методы научного исследования, как изучение научной литературы по теме исследования, аналитический и сравнительный методы.
Работа строго структурирована и состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
 

Первая группа получает достаточное развертывание вплоть до формирования прочных навыков решения в курсе алгебры основной школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает излагаться, причем рассматриваются не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начала анализа. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала второй из этих групп. По сравнению с первой группой, уравнения и неравенства второй группы в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса: числовой, функциональный, тождественные преобразования и т.д. [7, с. 48]Рациональные неравенства изучаются на протяжении 8-9 классов:1. «Алгебра, 8», авт. А. Г. Мордкович [16], [17]Основная цель:-формирование представлений о числовых неравенствах, неравенств с одной переменной, модулем действительного числа;-формирование умений исследования функции на монотонность, применения приближенных вычислений;-овладение умением построения графика функции модуль, описания её свойств;-овладение навыками решения линейных, квадратных неравенств, решение неравенств, содержащих переменную величину под знаком модуль.Изучение темы неравенства осуществляется в следующем порядке:Свойства числовых неравенствИсследование функций на монотонностьРешение линейных неравенствРешение квадратных неравенств2. Алгебра. 8 класс. Учебник.  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Теме «Неравенства» посвящена пятая глава учебника. Изучение темы осуществляется в следующем порядке:Числовые неравенства и неравенства с переменнымиСравнение чиселСвойства числовых неравенствОценка значений выраженийДоказательство неравенствРешение неравенств с одной переменной и их системРешение неравенств с одной переменнойРешение систем неравенств с одной переменнойРешение неравенств, содержащих переменную под знаком модуляОсобенности изучение иррациональных неравенств представлены в п. 1.2.1.Последовательность изучения различных классов неравенств и их систем различна в разных учебниках. Однако, можно выделить два основных пути развертывания содержания линии уравнений и неравенств: 1) сначала изучается материал к изучению уравнений и их систем, а затем к неравенствам. Раздельное изучение проводится до теории квадратного трехчлена. Дальнейшее изучение в старших классах лишено этого противопоставления. Логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и неравенства изучаются в тесной взаимосвязи; 2) Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений. Имеются и промежуточные пути, когда уравнения и неравенства сближены во времени изучения, а другие наоборот не связаны. Необходимо учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающие обучение.1. Постепенное возрастание количества классов уравнений, неравенств и приемов их решения, различных преобразований при решении. 2. Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений. Можно выделить четыре основные ступени (этапа) изучения неравенств и их систем. 1. Изучение основных типов неравенств, систем. К основным типам относятся линейные неравенства с одним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные неравенства. Каждый из основных классов неравенств и их систем требует проведения исследования зависимости результата от коэффициентов. 2. Изучение неравенств, систем, сводящихся к основным классам. Каждый из основных классов неравенств и их систем имеет четкую, стандартную форму записи.Пример. Система неравенств, не имеющая стандартного типа: Классификация «вторичных» классов неравенств и их систем обширнее, чем основных. Она включает, например, неравенства первой степени, биквадратные, алгебраические, иррациональные неравенства. По мере введения этих классов, установления соответствий между ними и основными классами возникают взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения процесса решения. Некоторые вторичные классы находятся между собой в отношении включения. Например, класс алгебраических уравнений шире класса биквадратных [13, с. 73]. 3. Формирование общих приемов решения и исследования неравенств и их систем. В ходе изучения неравенств, систем различных классов становится все более заметной роль общих, универсальных средств решения и исследования. 4. Синтез материала линии неравенств.1.3. Различные способы обоснований решений неравенствВ целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. В частности, они проходят те же этапы изучения. Особенности изучения неравенств. 1) Все неравенства изучаются вслед за соответствующим классом уравнения, за исключением линейных. 2) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением линейных и квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. 3) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а = b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Кроме, линейных. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «метода интервалов». 4) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства [5, с. 84].Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения). Задача - решить совокупность неравенств: Решим каждое неравенство по отдельностиСтроим числовую прямую, на которой изображаем множество решений Ответ: Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией. x ∈ (-∞; 3,5 ) Решение неравенств с модулемДанный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение: Нам необходимо решить неравенство: |x+1|>1 Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака) [10, с. 84]Данное неравенство равносильно совокупности неравенств: Пересекая два интервала, получим x ∈ (-4; 5 )Ответ: x ∈ (-4; 5 ) Решение квадратичных неравенств Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство: x2– 60x+500 ≤ 0Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0. Пользуясь теоремой Виета находим корни х1 = 50; х2 = 10Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от 10 до 50. Ответ: x∊[10;50] У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать. На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ. Решение дробных неравенств Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение. Решение неравенств методом интервалов Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класса, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0. Построим график многочлена (рисунок 1). Рисунок 1 – График многочленаЭто непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x1, x2 и x3, корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется. Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график. f(x)>0 при x(x1; x2) и при x(x3; ) f(x)x( - ; x1) и при х (x2; x3) На графике (рисунок 2) наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго).Рисунок 2 – Решения неравенств Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни [4, с. 83].2. Разработка конспектов уроков2.1. Урок на тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной»Тема и номер урока в теме: «Решение неравенств с одной переменной », первый урок из четырёх по этой теме и седьмой, восьмой из четырнадцати в разделе «Уравнения и неравенства с одной переменной».Продолжительность урока - 45 мин.Базовый учебник: Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С. А. Теляковского. Авторы Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, М., Просвещение, 2010 год. Цель урока: изучить определение неравенства второй степени с одной переменной. Сформировать навыки решения неравенства второй степени с одной переменной. Задачи:1. Обучающие:- научить в процессе реальной ситуации использовать определение понятия неравенства второй степени с одной переменной;- научить алгоритму решения неравенств второй степени с одной переменной;-формировать навыки использования информационных технологий;2. Развивающие:- формировать коммуникативную компетенцию учащихся; - рефлексия способов и условий действия;- контроль и оценка процесса и результатов деятельности. 3. Воспитательные:- умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем;- интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие; - воспитывать ответственность и аккуратность.Метод обучения: частично – поисковый с элементами репродуктивногоТип урока: урок изучения нового материала с применением ЭОР, ИКТ.Формы организации деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая. Список использованной литературы:Алгебра: учебник для 9 классов общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. Под редакцией  С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1999Алгебра 9 класс. Поурочные планы по учебнику «Алгебра 9 класс» / Ю.Н. Макарычев/ Под редакцией С.А. Теляковского . М.: Просвещение, 2002. /Сост. Д.Ф. Айвазян.- Волгоград – АСТ, 2003Асташкина И.С., Бубличенко О.Н. Дидактические материалы к урокам алгебры в 8-9 классах. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2003 г.Э.Г. Гольфман и др. Квадратичная функция: учебное пособие по математике для 9 класса.- Томск, издательство Томского Университета, 1998 г.Ход урокаПодготовка учащихся к восприятию нового материала.Организационный момент.Актуализация знаний.Организация учащихся на фронтальную беседу. Учитель задаёт вопросы.1)Какую функцию мы стали изучать недавно?2)Дайте определение этой функции. (Запись на доске)3)В каком виде ещё можно записать эту функцию? (Запись на доске)4)Что является графиком этих функций?5)Как найти вершины этих парабол?6)От чего зависит направление ветвей параболы?7)Что такое нули функции?8)Как их найти по графику функции?9)Как найти нули по формуле функции?10)В какой части координатной плоскости находится график функции, если: а) f(x) > 0; б) f(x) < 0?Запишите неравенство и найдите его решения: 2х – 4 > 0.Теперь рассмотрим графическое решение неравенства 2х – 4 > 0.Какая функция находится в левой части этого неравенства? Что является графиком этой функции?Какая часть координатной плоскости является решением неравенства? Какой степени это неравенство?Можем ли в левую часть неравенства вместо линейной функции поставить квадратичную? Такое неравенство вам знакомо? Какой степени это неравенство? Умеете ли вы его решать? Как вы думаете, какая тема будет изучаться на данном уроке?Процесс усвоения новых знаний.Изучение нового материала.-Используя промежутки знакопостоянства функции, мы с вами будем решать неравенства второй степени с одной переменной. Сначала давайте дадим определение (Учащиеся предлагают различные варианты, учитель корректирует и структурирует предложенное определение).Решить неравенство: . х2 – 5х –50 < 0 Решение.– Какая квадратичная функция соответствует данному неравенству? – Что является её графиком?– Выясним, как расположена парабола относительно оси х.– Как она может быть расположена? (пересекать ось х, находиться выше оси х, ниже оси х, касаться оси х) – Как это определить? (найти нули функции, решив квадратное уравнение)D = 25 + 200 = 225,или по теореме Виета Ответ: Учитель наблюдает за процессом решения. Проверяет статистику. Фиксирует успешные результаты.Физминутка.Закрепление.Предлагается решить неравенство x² + 3x – 4 > 0 по алгоритму: 1. Назовите функцию, которая находится слева от знака неравенства. 2.