Надежности системы

В результате получаем, что средняя наработка до отказа Т3,66, что на целых 32% больше, чем значение, полученное логико-вероятностным методом. Причина такого существенного расхождения состоит в том, что в логико-вероятностном методы мы пренебрегли тем, что второй элемент находится в холодном резерве.
...

1. Задание 1 для курсовой работы 3
1.1 Исходные данные по элементам системы 3
1.2 Постановка задачи 4
2. Расчёт надёжности системы с помощью статистического логико-вероятностного метода 5
2.1 Выполнение действий над логическими функциями, получение вероятностных полиномов 5
2.2 Выполнение расчета показателей надежности для невосстанавливаемой системы 6
2.3 Выполнение расчета показателей надежности для восстанавливаемой системы 8
3 Расчет надежности системы с помощью динамического метода на основе марковских случайных процессов 10
3.1 Расчет показателей безотказностиневосстанавливаемой системы 10
3.2 Решение системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова и анализ безотказности невосстанавливаемой системы 12

 

Вариант задания определяет блок-схему надежности исследуемой системы. Каждый вариант делится на 3 подварианта, определяющих порядок восстановления элементов:
a. прямой приоритет;
Для вариантов, где присутствует элемент 4, его приоритет при восстановлении считать наивысшем (восстанавливается всегда вперед других элементов), независимо от определенного подвариантом порядка. Считается, что единомоментно ремонтируется только один элемент, остальные отказавшие элементы в это время находятся в простое и ожидают своей очереди на восстановление.

1 Выполнение действий над логическими функциями, получение вероятностных полиномовПри анализе системы статическим логико-вероятностным методом не учитываются следующие факторы:•зависимость отказов и восстановлений различных элементов друг от друга;•вид резервирования: холодный или горячий:•порядок восстановления элементов и ограничения на количество одновременно ремонтируемых элементов.С каждым элементом системы связывается булева переменная состояния xi∈ {0,1}, равная единице, если элемент работоспособен и нулю в противном случае.На первом этапе необходимо получить логическую функцию работоспособности Y системы по виду блок-схемы надежности. При этом существуют следующие правила:•последовательное соединение элементов (подсистем) представляется как конъюнкция переменных состояния элементов(функций работоспособности подсистем);•параллельное соединение элементов (подсистем) представляется как дизъюнкция переменных состояния элементов (функций работоспособности подсистем).Блок-схема надежности первой подсистемы А имеет вид «2 из 3-х». На это указывает кратность резервирования 1/2, т.е. два основных элемента и один резервный. Для такой схемы логическая функция работоспособности будет иметь вид YА = x1∙x2∪x2∙x3∪x1∙x3.Таким образом, исследуемую систему можно представить как соединение двух блоков А и Б. При этом YБ=x4.Тогда Y=YА∙YБ=x1∙x2∪x2∙x3∪x1∙x3∙x4=x1∙x2∙x4∪x2∙x3∙x4∪x1∙x3∙x4.Для получения логической функции неработоспособности получим логическое дополнение Y до 1.Y=x1∙x2∙x4∪x2∙x3∙x4∪x1∙x3∙x4=x1∙x2∙x4∙x2∙x3∙x4∙x1∙x3∙x4=(x1∙x2∙x4)∙(x2∙x3∙x4)∙(x1∙x3∙x4)=(x1∙x3∙x2∙x2∙x4∙x4)∙(x1∙x3∙x4)=(x1∙x3∙x2∙x4)∙(x1∙x3∙x4)=x1∙x3∙x2∙x4∙x1∙x3∙x4=x1∙x3∙x3∙x2∙x4∙x4∙x1=x3∙x2∙x4∙x1=x1∙x2∙x3∙x4.Из полученных выражений мы можем выписать все КПУФ и МСО. Каждый конъюнкт функции Y будет соответствовать одному КПУФ. а каждый конъюнкт функции ̅Y - одному МСО.Y=x1∙x2∙x4∪x2∙x3∙x4∪x1∙x3∙x4: 3 КУПФ: (1,2,4), (2,3,4), (1,3,4).Y=x1∙x2∙x3∙x4: 1 МСО: 1,2,3,4На следующем шаге расчета логико-вероятностным методом необходимо получить вероятностный полином работоспособности системы. Для этого приведем функцию Y к виду ортогональной ДНФ (ОДНФ).Y=x1∙x2∙x4∪x2∙x3∙x4∪x1∙x3∙x4=К1∪К2∪К3, где К1=x1∙x2∙x4, К2=x2∙x3∙x4, К3=x1∙x3∙x4.Согласно лемм 1 и 2:Y=К1+К2+К3=К1+К1∙К2+К1∙К2∙К3=x1∙x2∙x3∙x4Y=К1+x1∙x2∙x4∙К2+x1∙x2∙x4∙x2∙x3∙x4∙К3=x1∙x2∙x3∙x4Y=К1+x1∙x2∙x4∙К2+x1∙x2∙x3∙x4∙К3=x1∙x2∙x3∙x4Y=К1+x1∙x2∙x4∙(К2+x3∙К3)=x1∙x2∙x3∙x4К1=x1∙x2∙x4, К2=x2∙x3∙x4, К3=x1∙x3∙x4.Итоговое выражение:Y=x1∙x2∙x4+x1∙x3+x2Для перехода к вероятностному полиному надо в выражении ОДНФ Y сделать замены: x —> рi и ̅x —> qi, "V" —>"+" где рi и qi- соответственно вероятности застать i- й элемент в работоспособном или отказавшем состоянии (рi+qi=1). Для текущего примера вероятностный полином работоспособности системы будет равен:P=p1∙p2∙p4∙q3+p2∙p3∙p4∙q1+p1∙p3∙p4∙q2Интервальную оценку полинома получаем по упрощённым формулам:1-q1∙q2∙q3∙q4≤P≤1-1-p1∙p2∙p41-p2∙p3∙p41-p1∙p3∙p42.2 Выполнение расчета показателей надежности для невосстанавливаемой системыПри проведении расчетов над невосстанавливаемой системой вместо переменных pi и qi, в вероятностных полиномах необходимо использовать соответственно функции:•вероятность безотказной работы элемента Ri(t) за время t:•вероятность отказа элемента Fi(t) за время t.Поскольку для всех элементов интенсивность отказа постоянна, то Ri(t) = ехр(-λit), а Fi(t)= 1- ехр(-λit). При этом функция вероятности безотказной работы системы будет равна R(t) = Р(t).Для проведения расчетов воспользуемся средой МВТУ 3.7. Рис.2.1 Результаты расчёта вероятности безотказной системыДалее на основе точного значения функции безотказной работы вычислим значения плотности наработки до отказа и интенсивность отказов системы. Сделать это можно по следующим формулам: ft=-ddtRt, λt=f(t)R(t)Также вычислим среднюю наработку до отказа по формуле T=0∞RτdτДля этого воспользуемся возможностями ПУ «МВТУ 3.7». Рис.2.2 График плотности наработки до отказаРис.2.3. График интенсивности отказовРис. 2.4. График средней наработки до отказаЧтобы определить значение показателя средней наработки до отказа надо посмотреть на предельное значение соответствующего графика. Для нашего случая это значение будет равно Т =3,2. 2.3 Выполнение расчета показателей надежности для восстанавливаемой системыПри проведении расчетов над восстанавливаемой системой вместо переменных рi и в вероятностных полиномах необходимо использовать соответственно функции:•функцию готовности элемента КiГ(t);•функцию простоя элемента КiП(t).Поскольку для всех элементов интенсивность отказа постоянна, тоKiГt=μiμi+λi+μiμi+λi∙exp⁡((-μi+λi)∙t)При этом функция готовности системы будет равна КГ(t)=P(t).После проведения расчёта получим результат:Рис.2.5. График функции готовности восстанавливаемой системы3 Расчет надежности системы с помощью динамического метода на основе марковских случайных процессов3.1Расчетпоказателейбезотказности невосстанавливаемой системы3.1.