теория вероятностей типовый расчет №3

подробное решение 8 задач
оформление - ворд ...

Типовой расчет № 3

(100 вариантов, M – первая цифра, N- вторая цифра номера варианта)

Задача №1. Из урны, содержащей 6 белых шаров, 5 – черных и 2 красных,
достают наугад 5 шаров. Найти вероятность случайного события A, что среди вынутых шаров белых и черных поровну.
Задача №2. Два кубика бросают 7 раз. Найти вероятность того, что в этой серии испытаний случайное событие A произойдет ровно 2 раз. Сумма двух выпавших цифр больше 3, но меньше 10.

Задача №3. Известна вероятность 0,52 случайного события A. Требуется: а) найти вероятность того, что в серии из 800 испытаний, событие A произойдет не менее 400 и не более 440 раз; б) определить минимальное число испытаний, чтобы с вероятностью 0,97 можно было бы утверждать, что относительная частота события A в этой серии испытаний будетотличаться от вероятности p не более, чем на 0,05 (по модулю).
Исходные данные: p = 0.52, q = 1- p = 1 - 0.52 = 0.48
Задача №4. Заданы законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
X 3 5 6
P 0,1 0,6 0,3
Y 3 4
P 0,8 0,2
и


Требуется составить закон распределения случайной величины , где , . Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин X, Y и Z (расчет M(Z) и D(Z) произвести двумя способами – по определению и пользуясь соответствующими свойствами).
Задача №5. 1) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти функцию распределения и схематично построить ее график; в) найти и . 2) Задана функция распределения непрерывной случайной величины X.. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти , , .
Задача №6. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:


5-20 20-35 35-50 50-65 65-80 80-95

5 17 40 57 23 8

Требуется: а) построить гистограмму; б) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии; в) предполагая нормальный закон распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (доверительная вероятность γ = 0,95).
Задача №7. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:

0 1 2 3 4 5

189 146 105 39 12 9
Требуется: а) построить полигон; б) с помощью критерия Пирсона проверить (на уровне значимости α = 0,05) гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона.
Задача №8. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X; Y) представлены в корреляционной таблице:


20 35 50 65 80 95
16 21 15 6 - - -
22 - 12 20 4 - -
28 - - 19 19 - -
34 - - 8 15 20 5
40 - - - - 14 19
Требуется найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X.

Типовой расчет № 3

(100 вариантов, M – первая цифра, N- вторая цифра номера варианта)

Задача №1. Из урны, содержащей 6 белых шаров, 5 – черных и 2 красных,
достают наугад 5 шаров. Найти вероятность случайного события A, что среди вынутых шаров белых и черных поровну.
Задача №2. Два кубика бросают 7 раз. Найти вероятность того, что в этой серии испытаний случайное событие A произойдет ровно 2 раз. Сумма двух выпавших цифр больше 3, но меньше 10.

Задача №3. Известна вероятность 0,52 случайного события A. Требуется: а) найти вероятность того, что в серии из 800 испытаний, событие A произойдет не менее 400 и не более 440 раз; б) определить минимальное число испытаний, чтобы с вероятностью 0,97 можно было бы утверждать, что относительная частота события A в этой серии испытаний будет отличаться от вероятности p не более, чем на 0,05 (по модулю).
Исходные данные: p = 0.52, q = 1- p = 1 - 0.52 = 0.48
Задача №4. Заданы законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
X 3 5 6
P 0,1 0,6 0,3
Y 3 4
P 0,8 0,2
и


Требуется составить закон распределения случайной величины , где , . Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин X, Y и Z (расчет M(Z) и D(Z) произвести двумя способами – по определению и пользуясь соответствующими свойствами).
Задача №5. 1) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти функцию распределения и схематично построить ее график; в) найти и . 2) Задана функция распределения непрерывной случайной величины X.. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти , , .
Задача №6. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:


5-20 20-35 35-50 50-65 65-80 80-95

5 17 40 57 23 8

Требуется: а) построить гистограмму; б) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии; в) предполагая нормальный закон распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (доверительная вероятность γ = 0,95).
Задача №7. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:

0 1 2 3 4 5

189 146 105 39 12 9
Требуется: а) построить полигон; б) с помощью критерия Пирсона проверить (на уровне значимости α = 0,05) гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона.
Задача №8. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X; Y) представлены в корреляционной таблице:


20 35 50 65 80 95
16 21 15 6 - - -
22 - 12 20 4 - -
28 - - 19 19 - -
34 - - 8 15 20 5
40 - - - - 14 19
Требуется найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X.

Значит, закон распределения выглядит следующим образом:
Отсюда найдем математическое ожидание
.
Математическое ожидание от алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих случайных величин; в частности
.
.
Найдем дисперсию
;
;
.
Дисперсия от алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин; в частности
.
.
Задача №5. 1) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти функцию распределения и схематично построить ее график; в) найти и . 2) Задана функция распределения непрерывной случайной величины X.. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти , , .
1) Найдем абсциссу точки для первого уравнения:
Найдем функцию распределения.
Если , то .
Если , то
Найдем коефициент bиз условия нормирования (k=1, так как угол равен 450)
Если , то
Если , то
Задача №6. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:
5-20
20-35
35-50
50-65
65-80
80-95
5
17
40
57
23
8
Требуется: а) построить гистограмму; б) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии; в) предполагая нормальный закон распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (доверительная вероятность γ = 0,95).
Следуя определению, строим гистограмму частот
Имеем:
n = 150, , .
Все необходимые расчеты удобно выполнять в таблице:
-
5-20
5
12,5
-2
-25
50
20-35
17
27,5
-1
-27,5
27,5
35-50
40
42,5
50-65
57
57,5
1
57,5
57,5
65-80
23
72,5
2
145
290
80-95
8
87,5
3
262,5
787,5
Σ
150
-
-
412,5
1212,5
;
;
;
;
.
Тогда, среднее значение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:
;
;
.
По таблице 2 Приложения находим значение критерия Стьюдента для заданной вероятности:
.
Тогда
.
Отсюда, левые и правые границы доверительного интервала равны:
,
.
Итак, с вероятностью 0,95 утверждается, что величина математического ожидания принадлежит интервалу
(79,4188;83,0925).
Задача №7. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда:
1
2
3
4
5
189
146
105
39
12
9
Требуется: а) построить полигон; б) с помощью критерия Пирсона проверить (на уровне значимости α = 0,05) гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона.
Находим
.
в) Найдем по формуле Пуассона вероятности Pi, появления ровно i событий в n испытаниях. Находим теоретические частоты по формуле npi
i = 0: p0 = 0.32, np0 = 161.19
i = 1: p1 = 0.36, np1 = 182.47
i = 2: p2 = 0.21, np2 = 103.28
i = 3: p3 = 0.0779, np3 = 38.97
i = 4: p4 = 0.0221, np4 = 11.03
i = 5: p5 = 0.00499, np5 = 2.5
в) Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле (5 столбец таблицы):
Составляем расчетную таблицу:
i
189
0.32
161,19
27,81
773,3961
4,8
1
146
0.36
182,47
-36,47
1330,061
7,29
2
105
0.21
103,28
1,72
2,9584
0,0286
3
39
0.0779
38,97
0,03
0,0009
4
12
0.0221
11,03
0,97
0,9409
0,0855
5
9