5 задач, вариант 4 «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

Задача 1.
По региону изучается зависимость расходов на питание (y – тыс. руб.) от доходов (x – тыс. руб.) по 10 группам семей:
Группы семей
Среднегодовой доход на душу, тыс. руб.
Среднедушевые расходы на питание в год, тыс. руб.
1 30 19
2 41 25
3 52 30
4 60 32
5 73 37
6 80 40
7 92 45
8 100 47
9 112 51
10 125 53
Задание:
1. Постройте поле корреляции для данной зависимости.
2. Определите уравнение регрессии степенной формы и дайте интерпретацию параметра b.
3. Найдите индекс корреляции и поясните его смысл. Определите линейный коэффициент корреляции и поясните различие данных мер тесноты связи.
4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.
6. С вероятностью 0.95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сде ...

Задача 1.
По региону изучается зависимость расходов на питание (y – тыс. руб.) от доходов (x – тыс. руб.) по 10 группам семей:
Группы семей
Среднегодовой доход на душу, тыс. руб.
Среднедушевые расходы на питание в год, тыс. руб.
1 30 19
2 41 25
3 52 30
4 60 32
5 73 37
6 80 40
7 92 45
8 100 47
9 112 51
10 125 53
Задание:
1. Постройте поле корреляции для данной зависимости.
2. Определите уравнение регрессии степенной формы и дайте интерпретацию параметра b.
3. Найдите индекс корреляции и поясните его смысл. Определите линейный коэффициент корреляции и поясните различие данных мер тесноты связи.
4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.
6. С вероятностью 0.95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сделайте выводы.
7. С вероятностью 0.95 оцените доверительный интервал ожидаемой величины расходов на питание для группы семей со среднегодовым доходом в 110 тыс. руб.


Задача 2.
Для уравнения регрессии результаты дисперсионного анализа оказались следующими:
Источники вариации
Число степеней свободы
Сумма квадратов отклонений
Дисперсия на 1 степень свободы
F-критерий
Общий
19
20000
За счет регрессии
12,5
В том числе за счет
В том числе за счет
Задание:
1. Учитывая, что заполните таблицу дисперсионного анализа.
Сделайте выводы:
1) О значимости уравнения регрессии в целом с вероятностью 0.95,
2) О целесообразности дополнительного включения в уравнение регрессии фактора x2.
2. Оцените:
1) Скорректированный коэффициент множественной корреляции,
2) Частный коэффициент корреляции и сделайте выводы.
3) Стандартную ошибку регрессии,
4) Интервальное значение для коэффициента регрессии при факторе x2 с вероятностью 0.95.

Задача 3.
Рассматривается макроэкономическая модель:

где

Задание:
1. Проведите идентификацию модели (двумя способами).
2. Укажите способ оценки параметров каждого уравнения системы.
3. Найдите структурные коэффициенты первого уравнений системы, если известна система приведенных уравнения:
4. Опишите методику оценки параметров третьего уравнения системы.


Задача 4.
Динамика численности официально зарегистрированных безработных в регионе характеризуется следующими данными:
(на конец года)
Год
Тыс. человек
1993 42,7
1994 45,2
1995 47,5
1996 47,1
1997 31,9
1998 40,6
1999 22,8
2000 19,3
2001 17,0
2002 17,5
2003 16,9
Задание:
1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.
2. Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметров.
3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.
4. Дайте интервальный прогноз ожидаемой численности официально зарегистрированных безработных на 2005 год.
Задача 5.
Изучается зависимость продажи телевизоров (y1 – тыс. шт.) от среднедушевых денежных доходов в месяц (x1 – руб.) по следующим данным:
Год
Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб., x
Продажа телевизоров, тыс. шт., y
1 942 3296
2 1013 2812
3 16642205
4 2290 2679
5 3078 3162
6 3972 3810
7 5162 4125
В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициенты детерминации (i=1-7):
А) продажи телевизоров
Б) для среднедушевых денежных доходов в месяц
Задание:
1. Дайте интерпретацию параметров трендов.
2. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, используя: а) непосредственно исходные уровни, б) отклонения от основной тенденции.
3. Обоснуйте различие полученных результатов и сделайте вывод тесноте связи между временными рядами.
Постройте уравнение регрессии по отклонениям от трендов

Задача 1.
По региону изучается зависимость расходов на питание (y – тыс. руб.) от доходов (x – тыс. руб.) по 10 группам семей:
Группы семей
Среднегодовой доход на душу, тыс. руб.
Среднедушевые расходы на питание в год, тыс. руб.
1 30 19
2 41 25
3 52 30
4 60 32
5 73 37
6 80 40
7 92 45
8 100 47
9 112 51
10 125 53
Задание:
1. Постройте поле корреляции для данной зависимости.
2. Определите уравнение регрессии степенной формы и дайте интерпретацию параметра b.
3. Найдите индекс корреляции и поясните его смысл. Определите линейный коэффициент корреляции и поясните различие данных мер тесноты связи.
4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.
6. С вероятностью 0.95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сде лайте выводы.
7. С вероятностью 0.95 оцените доверительный интервал ожидаемой величины расходов на питание для группы семей со среднегодовым доходом в 110 тыс. руб.


Задача 2.
Для уравнения регрессии результаты дисперсионного анализа оказались следующими:
Источники вариации
Число степеней свободы
Сумма квадратов отклонений
Дисперсия на 1 степень свободы
F-критерий
Общий
19
20000
За счет регрессии
12,5
В том числе за счет
В том числе за счет
Задание:
1. Учитывая, что заполните таблицу дисперсионного анализа.
Сделайте выводы:
1) О значимости уравнения регрессии в целом с вероятностью 0.95,
2) О целесообразности дополнительного включения в уравнение регрессии фактора x2.
2. Оцените:
1) Скорректированный коэффициент множественной корреляции,
2) Частный коэффициент корреляции и сделайте выводы.
3) Стандартную ошибку регрессии,
4) Интервальное значение для коэффициента регрессии при факторе x2 с вероятностью 0.95.

Задача 3.
Рассматривается макроэкономическая модель:

где

Задание:
1. Проведите идентификацию модели (двумя способами).
2. Укажите способ оценки параметров каждого уравнения системы.
3. Найдите структурные коэффициенты первого уравнений системы, если известна система приведенных уравнения:
4. Опишите методику оценки параметров третьего уравнения системы.


Задача 4.
Динамика численности официально зарегистрированных безработных в регионе характеризуется следующими данными:
(на конец года)
Год
Тыс. человек
1993 42,7
1994 45,2
1995 47,5
1996 47,1
1997 31,9
1998 40,6
1999 22,8
2000 19,3
2001 17,0
2002 17,5
2003 16,9
Задание:
1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.
2. Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметров.
3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.
4. Дайте интервальный прогноз ожидаемой численности официально зарегистрированных безработных на 2005 год.
Задача 5.
Изучается зависимость продажи телевизоров (y1 – тыс. шт.) от среднедушевых денежных доходов в месяц (x1 – руб.) по следующим данным:
Год
Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб., x
Продажа телевизоров, тыс. шт., y
1 942 3296
2 1013 2812
3 16642205
4 2290 2679
5 3078 3162
6 3972 3810
7 5162 4125
В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициенты детерминации (i=1-7):
А) продажи телевизоров
Б) для среднедушевых денежных доходов в месяц
Задание:
1. Дайте интерпретацию параметров трендов.
2. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, используя: а) непосредственно исходные уровни, б) отклонения от основной тенденции.
3. Обоснуйте различие полученных результатов и сделайте вывод тесноте связи между временными рядами.
Постройте уравнение регрессии по отклонениям от трендов

—
—
1
45,2
42,7
2043,04
1930,04
2
47,5
45,2
2256,25
2147,00
3
47,1
47,5
2218,41
2237,25
4
31,9
47,1
1017,61
1502,49
5
40,6
31,9
1648,36
1295,14
6
22,8
40,6
519,84
925,68
7
19,3
22,8
372,49
440,04
8
17,0
19,3
289,00
328,10
9
17,5
17,0
306,25
297,50
10
16,9
17,5
285,61
295,75
Итого
305,80
331,60
10956,86
11398,99
Для выражения абсолютной скорости роста уровня ряда динамики исчисляют абсолютный прирост, который определяется по формуле:
Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается темпом роста, который вычисляется по формуле:
Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста:
Годы
Показатель
Абсолютный прирост
Темп роста
Темп прироста
Цеп
ной
Базис
ный
Цеп
ной
Базис
ный
Цеп
ной
Базис
ный
1993
42,7
-
100,00
-
0,00
1994
45,2
2,5
2,5
105,85
105,85
5,85
5,85
1995
47,5
2,3
4,8
105,09
111,24
5,09
11,24
1996
47,1
-0,4
4,4
99,16
110,30
-0,84
10,30
1997
31,9
-15,2
-10,8
67,73
74,71
-32,27
-25,29
1998
40,6
8,7
-2,1
127,27
95,08
27,27
-4,92
1999
22,8
-17,8
-19,9
56,16
53,40
-43,84
-46,60
2000
19,3
-3,5
-23,4
84,65
45,20
-15,35
-54,80
2001
17,0
-2,3
-25,7
88,08
39,81
-11,92
-60,19
2002
17,5
0,5
-25,2
102,94
40,98
2,94
-59,02
2003
16,9
-0,6
-25,8
96,57
39,58
-3,43
-60,42
Примерно постоянны цепные абсолютные приросты, поэтому построим линейный тренд.
Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1.
№
1
1
42,7
1,00
42,70
49,68182
2
2
45,2
4,00
90,40
46,08182
3
3
47,5
9,00
142,50
42,48182
4
4
47,1
16,00
188,40
38,88182
5
5
31,9
25,00
159,50
35,28182
6
6
40,6
36,00
243,60
31,68182
7
7
22,8
49,00
159,60
28,08182
8
8
19,3
64,00
154,40
24,48182
9
9
17
81,00
153,00
20,88182
10
10
17,5
100,00
175,00
17,28182
11
11
16,9
121,00
185,90
13,68182
Итого
66,00
348,50
506,00
1695,00
348,5
Расчёт определителя системы выполним по формуле:
1210;
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле: 64471.
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:
-4356.
Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
; .
В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
В уравнении коэффициент регрессии а1 = -3,65 означает, что на следующий год динамика численности официально зарегистрированных безработных в регионе снизится на 3,6 тыс. чел.
Свободный член уравнения а0 =53,282 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на динамику численности официально зарегистрированных безработных в регионе.
Критерий Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении:
То есть в модели есть положительная автокорреляции остатков.
При выполнении прогнозов на 2005 год подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 13, что позволяет получить прогнозные значения:
Рассчитаем ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оценим его точность.
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии -и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .
В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.
Ошибка положения регрессии составит:
=
= .
Интегральная ошибка прогноза составит: = .
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*6,02 =13,6. Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит
=6,482+13,6 =20,09.
Нижняя граница доверительного интервала составит: = 6,482 -13,6 = -7,12.
Это означает, что верхняя граница в 2 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза достаточно велика и его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая.
Задача 5.
Изучается зависимость продажи телевизоров (y1 – тыс. шт.) от среднедушевых денежных доходов в месяц (x1 – руб.) по следующим данным:
Год
Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб., x
Продажа телевизоров, тыс. шт., y
1
942
3296
2
1013
2812
3
1664
2205
4
2290
2679
5
3078
3162
6
3972
3810
7
5162
4125
В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициенты детерминации (i=1-7):
А) продажи телевизоров
Б) для среднедушевых денежных доходов в месяц

Задание:
1. Дайте интерпретацию параметров трендов.
2. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, используя: а) непосредственно исходные уровни, б) отклонения от основной тенденции.
3. Обоснуйте различие полученных результатов и сделайте вывод тесноте связи между временными рядами.
4. Постройте уравнение регрессии по отклонениям от трендов.
Решение:
Годы
Доходы ()
Продажа ()
.
1
942
446,71
3296
3185,06
2
1013
1160,71
2812
2766,98
3
1664
1874,71
2205
2593,86
4
2290
2588,71
2679
2665,7
5
3078
3302,71
3162
2982,5
6
3972
4016,71
3810
3544,26