К. Гаусс и его вклад в историю развития математики

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.
Тема "К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры" изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики " К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры ".
Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы. Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проб ...

ВВЕДЕНИЕ 2
1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 4
1.1 КРАТКАЯ БИОГРАФИЯ К.ГАУССА 4
1.2 Кольцо целых чисел Гаусса 7
1.3 Доказательства основной теоремы алгебры 11
2. ПРАКТИЧЕСКАОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТРУДОВ К.ГАУССА 17
2.1. Применение чисел гаусса 17
2.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 20
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 32

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.
Тема "К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры" изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики " К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры ".
Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы. Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проб лемы " К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры " определяют несомненную новизну данного исследования.
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме " К. Гаусс и его вклад в развитие теории чисел и алгебры " в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.
Целью курсовой работы является рассмотреть вклад К. Гаусса в развитие теории чисел и алгебры.
Чтобы добиться поставленной цели были выделены следующие задачи:
1. Изучить литературу по данной проблеме
2. Рассмотреть биографию К. Гаусса
2. Выделить основные идеи ученого в кольце целых чисел
3. Привести несколько доказательств основной теоремы алгебры

Для любых гауссовых чисел , а также обратимых справедливы свойства. (7) (8) (9) (10), где (11) (12)Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества ведут себя по отношению к делимости точно так же как и , и называются союзными с . Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.Замечание 1.Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляетсясамим собой.Замечание 2.Более точно единственность формулируется следующим образом. Если имеются два разложения на простые гауссовы множители, то есть , то и можно так перенумеровать числа , что будет союзно с , при всех от 1 до включительно.Доказательство.Доказательство проведем индукцией по норме.База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.Пусть сейчас — ненулевое необратимое гауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей утверждение доказано. Покажем возможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через необратимый делитель , имеющий наименьшую норму. Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда . Таким образом, мы имеем и по индуктивному предположению представимо в виде произведения простых чисел. Значит, раскладывается в произведение этих простых и .Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:.По лемме Евклида в произведении один из множителей должен делиться на . Можно считать, что делится на , иначе перенумеруем. Так как они простые, то , где обратимо. Сокращая обе части нашего равенства на , получим разложение на простые множители числа , по норме меньшего, чем . .По индуктивному предположению и можно перенумеровать числа так, что будет союзно с , с , …, с . Тогда и при этой нумерации союзно с при всех от 1 до включительно. Значит, разложение на простые множители единственно.Что и требовалось доказать.1.3 Доказательства основной теоремы алгебрыГаусс дал первое безупречное доказательство основной теоремы алгебры. Первое доказательство основной теоремы алгебры Гаусс дал в 1799, а позднее предложил еще несколько доказательств. Теорема: Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.Следствие: Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом кратности корней.Доказательство: Пусть p(z)=a0+a1z+…+anzn – полином степени n с комплексными коэффициентами (n≥1), у которого an0. Зфссмотрим вещественную функцию двух переменных f(z)=|p(z)|. Она непрерывна. Покажем, что эта функция «растет на бесконечности» . Действительно,fz=anzn1+an-1z+…+a0zn-1Если величина |z| достаточно велика, то модуль величины an-1z+…+ a0zn-1 меньше ½, и, значит, f(z)≥anzn2Так что при достаточном большом |z|=R f(z) станет больше f(0).Отсюда следует, что минимум функции f не может достигаться вне круга радиуса R с центром в нуле и, тем более, вне любого квадрата с центром в нуле, содержащего этот круг.Но по теореме Вейерштрасса (для квадратов) непрерывная функция f должна достигать минимума в таком квадрате. Пусть это будет число Ԅ. Не ограничивая себя в общности, можно сказать, что Ԅ=0. Итак, пусть f дотигает минимума в нуле.Если f(0)=0, то все доказано. Оказывается, что случай F(0)>0 невозможен.Другие доказательства теоремы.Теорема. Пусть р — положительное простое число, к — не делящееся на р целое число,А — совокупность чисел 1, 2, 3,..., (р — 1) / 2,В — совокупность чисел (р + 1) / 2, (р + 3) / 2, (р + 5) / 2, .. ., р — 1. Возьмем, далее, наименьшие положительные вычеты произведений к на отдельные числа из А по модулю р, которые, очевидно, будут все различны и будут частью принадлежать к А, а частью к В . Если теперь предположить, что всего к В принадлежит из этих вычетов, то к будет квадратичным вычетом или невычетом по модулю р в зависимости от того, будет ли число четным или нечетным.Доказательство. Если а, а', а", . . . суть вычеты, принадлежащие к А, а b, b', b",... — остальные вычеты, принадлежащие к B, то очевидно, что дополнения последних, р — b, р — b’’р — b",..., будут все отличны от чисел а, а', а", . . . , но вместе с ними будут исчерпывать всю совокупность А. Поэтому мы имеем1.2.3... • 1/2 (P -1) = аа’а’’..-(р — b) (р — b')(р — b"). ...Последнее же произведение, очевидно, будет= (— 1)aa'а" . .. bb'b" . . . == (-1)k∙2k∙3k ...1/2 (p — 1)k == (— 1)k(P—1)/2∙1∙2 ∙3 …1/2∙(p-1) (modp).Следовательно,1 =(— 1)k(P—1)/2т. e. k(P—1)/2 =±1, в зависимости от того, будет ли четным или нечетным, откуда тотчас же и получается теорема.Дальнейшие рассуждения могут быть существенно сокращены посредством введения подходящих обозначений. Пусть символ (к, р) обозначает количество тех произведений из рядак, 2к, 3к, . . ., 1/2 (р — 1) к, наименьшие положительные вычеты которых по модулю р превосходят половину этого числа. Если далее, х есть некоторая нецелочисленная величина, то через [х] мы будем обозначать ближайшее к х, меньшее чем х целое число, так что x-[х] всегда есть положительная величина, лежащая между границами 0 и 1. Тогда без труда получаются следующие соотношения:I. [х ]+ [ - х ] = — 1.II. [x]+ h=[x+h], если h есть целое число.III. [х]+[h — х] = h — 1.IV. Если х — [х] есть дробь, меньшая чем 1/2, то [2х] — 2 [х] = 0;, если же, напротив, x — [x]>1/2, то [2х] — 2[x] = 1.V. Если поэтому наименьший положительный вычет целого числа h по модулю р меньше чем р/ 2, то [2h/p] — 2[h/p]=0; если же этот вычет больше чем р/2, то [2h/p] — 2[h/p] =1VI. Из этого тотчас же следует, что (к, р) = [2к / р] + [4k/p] + [6k/p]+…+ [(р — 1) к / р] — 2[к/р]— 2[2к/р] — 2[3к/р-…-2[1/2(p-1)k/p]VII. Из VI и I легко выводится, что (k, Р) + (— k, Р) = ½(p-1)Отсюда получается, что число — к относится к числу р (в смысле того, является ли — к вычетом или невычетом по модулю р) или так же, как + к, или противоположным образом, в зависимости от того, имеет ли р вид 4n+ 1 или вид 4n + 3. В первом случае число — 1 будет, очевидно, вычетом, а во втором — невычетом по модулю р.VIII. Приведенную в VI формулу мы преобразуем следующим образом. Согласно III, имеет место[(р— 1)k/p] = к— 1 — [к/p], [(р — 3)к/р]=к— 1 — [3к/р], [(р — 5)к/р] = к— 1 — [5к/р],.. .Если мы произведем замену такими выражениями последних (p±)/4 членов ряда из VI, то получим,во-первых, что если р имеет вид 4n + 1, то (k, P) = 1/4 ( k - 1 ) ( p -1 ) - 2 {[k/p] + [3к/р] + [5к/р] +…+ [1/2(р — 3)k/p]| — {[k/p]+[2k/p]+[3k/p]+…+[1/2(p-1)k/p]}и, во-вторых, что если р имеет вид 4n + 3, то (к, Р) = 1/4(к-1)(р + 1 ) — 2 {[к/р] + [3к/р] + [5к/p] +…+[ 1/2(р — 1)k/p]} —-{[к/р] + [2к/р] + [3k/p] +... + [ 1/2( р- 1 ) k / р ] } .IX. Для специального случая к = ± 2 из приведенных выше формул получается, что (2, р) = 1/4{р±1), где нужно брать верхний или нижний знак в зависимости от того, имеет ли р вид 4n + 1 или 4n + 3. Следовательно, когда р имеет вид 8n + 1 или 8n + 7, число (2, р) будет четным, и потому 2 будет вычетом по модулю р; если же р имеет вид 8n + 3 или 8n + 5, то (2, р), напротив, будет нечетным, и потому 2 будет невычетом по модулю р.Теорема. Пусть х — положительная нецелочисленная величина, такая, что среди ее кратностей х , 2х, 3х, . . . до nх нет ни одного целого числа; положим [nх] = h, откуда легко получить, что и среди кратностей 1/ х, 2/ х, 3 / х , . . . до h / х обратной к х величины тоже нет целых чисел. Тогда я утверждаю, что [х] + [2х] + [Зx] + ….+ [nх] + [1/x] + [2/x] + [3/x]+ … +[h/x]=nh.Доказательство. В ряде [х] + [2х] + [Зх] + . . . + [nх], который мы обозначим через Ωпервые члены до [i / х]-то члена включительно все, очевидно, равны 0, следующие члены до [2 / x]-го все равны 1, следующие, до [3/x]-го, все равны 2, и т. д. ПоэтомуΩ = 0-[1/x] ++ 1-{[2/х] — [1/х]} + 2.{[3/х] — [2/х]} + 3-{[4/х] — [3/х]} +…+ (h-1)-{[h/x] — [(h-1)/x]} +-h∙{n — [h / x]} = hn — [1 / x] — [2 /x] — [3/x1 — …— [h / x]. Это и требовалось доказать.Теорема. Если к, р обозначают любые положительные не равные между собой простые числа, то [k/p] + [2k/p] + [3k/p]+-.. +[1/2(p-1)k/p] + [р /k + [2р /k] + [3р / к] + … + [1/2 (к — 1) р/ k] =1/4(k-1)(p-1).Доказательство. Предположим, для определенности, что к < p, тогда 1/2 (р — 1) к / р будет меньше, чем к / 2, но больше чем (к — 1) / 2 и потому [1/2(p—1 )k/p] = 1/2 (к — 1). Отсюда вытекает, что настоящая теорема тотчас же получается из предыдущей, если положить к/p=x½(p-1)=n, и потому 1/2 (к — 1 )=h.Подобным же образом можно показать, что если к есть четное число, взаимно простое с р, то [к / р] + [2к/ р] + [3к / р] + ... + [1/2 (р — 1) к/р] + [р/к] + [2р/к] + [3р/к] + …+ [ 1/2 кР /к] =1/4 к{Р — 1)Однако мы не будем останавливаться на этой теореме, которая для нашей цели не требуется.Теперь из соединения последней теоремы с теоремой VIII сразу получается фундаментальная теорема. Именно, если обозначить через к, р какие-нибудь неравные положительные простые числа и положить (k,p) + [к/Р] + [2к/р] + [3к/р] +…+ [1/2(p-1)k/p]=L(p,k)+[p/k]+[2p/k]+[3p/k]+…+[1/2(k-1)p/k]=M,то из VIII п. 4 вытекает, что L и М всегда будут четными числами. Согласно же теореме: . Если к, р обозначают любые положительные не равные между собой простые числа, то [k/p] + [2k/p] + [3k/p]+-.. +[1/2(p-1)k/p] + [р /k + [2р /k] + [3р / к] + … + [1/2 (к — 1) р/ k] =1/4(k-1)(p-1).L + M = (k, р) + (р, к) + 1/4-(к — 1)(р — 1).Поэтому, если 1/4(к — 1 )(р — 1) четно, что будет тогда, когда либо оба числа к, р, либо по крайней мере одно из них имеет вид 4n + 1, то (k, р) и (p, к) будут обязательно либо оба четны, либо оба нечетны. Если же -1/4 (к — 1 )(р — 1) нечетно, что будет тогда, когда оба числа к, р имеют вид 4n -3, то обязательно одно из чисел (к, р), (р, к) должно быть четным, а другое нечетным. Следовательно, в первом случае отношение числа к к р (в том смысле, является ли первое вычетом или невычетом второго) будет совпадать с отношением р к к, а во втором случае будет ему противоположно. Это и требовалось доказать.2. Практическаое применение трудов К.Гаусса2.1. Применение чисел гауссаЗадача 1.Посмотрим применение данной теории на примере решения диафантова уравнения.Решить в целых числах .Заметим, что правая часть представима в виде произведения сопряженных гауссовых чисел.То есть . Пусть делится на некоторое простое гауссово число , и на него делится и сопряженное, то есть . Если рассмотреть разность этих гауссовых чисел, которая должна делиться на , то получим, что должно делить 4. Но , то есть союзно с .Все простые множители в разложении числа входят в степени кратной трем, а множители вида , в степени кратной шести, так как простое гауссово число получается из разложения на простые гауссовы 2, но , поэтому . Сколько раз встречается в разложении на простые множители числа , столько же раз и встречается в разложении на простые множители числа . В силу того, что делится на тогда и только тогда, когда делится на . Но союзно с . То есть они распределятся поровну, значит, будут входить в разложения этих чисел в степенях кратной трем. Все остальные простые множители, входящие в разложение числа , будут входить только либо в разложение числа , либо числа . Значит, в разложении на простые гауссовы множители числа все множители будут входить в степени кратной трем. Следовательно число есть куб. Таким образом имеем, что . Отсюда получаем, что , то есть должно быть делителем 2. Значит , или . Откуда получаем четыре удовлетворяющие нам варианта.1. , . Откуда находим, что , .2. , . Отсюда , .3. , . Отсюда , .4. , . Отсюда , .Ответ: , , , .Задача 2.Решить в целых числах .Представим левую часть как произведению двух гауссовых чисел, то есть . Разложим каждое из чисел на простые гауссовы множители. Среди простых будут такие, которые есть в разложении и . Сгруппируем все такие множители и обозначим полученное произведение . Тогда в разложении останутся только те множители, которых нет в разложении . Все простые гауссовы множители, входящие в разложение , входят в четной степени. Те которые не вошли в будут присутствовать либо только в , либо в . Таким образом, число является квадратом. То есть . Приравнивая действительные и мнимые части, получим, что , , .Ответ: , , .Задача 3.Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.Задача равносильна задаче о представлении данного натурального числа в виде нормы некоторого числа Гаусса. Пусть — число Гаусса, норма которого равна . Разложим на простые натуральные множители., где — простые числа вида , а — простые числа вида . Тогда, чтобы было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо, чтобы все были четными. Разложим на простые гауссовы множители число , тогда,где — простые гауссовы числа, на которые раскладываются ,Сравнение нормы с числом приводит к следующим соотношениям, необходимым и достаточным для того, чтобы .Число представлений подсчитывается из общего числа возможностей для выбора показателей . Для показателей имеется возможность, так как число можно разбить на два неотрицательных слагаемых способом:Для пары показателей имеется возможность и так далее. Комбинируя всевозможными способами допустимые значения для показателей мы получим всего различных значений для произведения простых гауссовых чисел, с нормой вида или 2. Показатели выбираются однозначно. Наконец, обратимому можно придавать четыре значения: .Таким образом, для числа имеется всего возможностей, и следовательно, число в виде нормы гауссова числа , то есть в виде может быть представлено способами.При этом подсчете различными считаются все решения уравнения . Однако некоторые решения можно рассматривать, как определяющие одно и то же представление в виде суммы двух квадратов. Так, если — решения уравнения , то можно указать еще семь решений, определяющих то же самое представление числа в виде суммы двух квадратов: .Очевидно, что из восьми решений, соответствующих одному представлению, может остаться только четыре различных в том и только в том случае, если или , или . Подобные представления возможны, если полный квадрат или удвоенный полный квадрат, и при том такое представление может быть только одно: .Таким образом, имеем следующие формулы:, если не все четные и, если все четные.2.2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСистемой линейных уравнений (л.у.) над называется совокупность (набор) из нескольких уравнений от одного и того же набора переменных (неизвестных) : Здесь числа и — из ; они называются коэффициентами системы. Первый индекс у коэффициента отвечает за номер уравнения, а второй — за номер переменной. Относительно числа уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных . Если то система называется переопределенной.