Уроки интегрированного типа как среда личностного развития школьников.

Оглавление
Введение
1 Теоретические основы интеграции в обучении
1.1 Интегрированные уроки в курсе геометрии
1.2 Общие сведения о метрических задачах
2 Уроки интегрированного типа по геометрии
2.1 Методы изображения
2.2 Метрические построения на проекционном чертеже
2.2.1. Выносные чертежи
2.2.2. Построения на изображениях пространственных фигур
Заключение
Список использованной литературы

Уроки интегрированного типа как среда личностного развития школьников.

Позиционные задачи на пересечение прямых и плоскостей. При моделировании важно знать взаимное положение геометрических фигур, которые могут пересекаться (что, часто, не должно быть), касаться и т.д. Ортогональный чертеж не всегда дает ответ на эти вопросы. Однако знания свойств параллельного проецирования, позволяет сразу решить некоторые позиционные задачи
Частные случаи пересечения плоскостей:
Пересечение прямой с координатными осями
Пересечение двух плоскостей общего положения. Метод секущих плоскостей
Геометрическими элементами многогранников являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел - пространство внутри многогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массива точек. Пересечение прямой с поверхностью многогранника Многогранники, как поверхности, пересекаются по линии и многогранники, как тела, пересекаются по трехмерным телам. Используя теоретико-множественные операции, с многогранниками как с телами (многогранники могут быть как тела с нулевой толщиной стенок-граней), можно выполнять операции объединения, вычитания и пересечения.
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Таким образом, чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости, и через эту прямую провести искомую плоскость. Линией наибольшего ската (уклона) называется прямая плоскости, перпендикулярная к горизонтальному следу или горизонталям этой плоскости.
Позиционные и метрические задачи решаются проще, если геометрические фигуры занимают по отношению к плоскостям проекций частные положения (перпендикулярные или параллельные). Такое положения фигур можно достичь вращением их вокруг проецирующих, линий уровня или координатных осей.
Вращение прямой общего положения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций до положения уровня и далее до проецирующего положения осуществляется.
Последовательное вращение прямой общего положения вокруг двух осей, перпендикулярных плоскостям проекций до проецирующего положения можно осуществить сначала поворотом вокруг горизонтально-проецирующей оси до положения уровня.
Для плоской фигуры важным является вращение ее до проецирующего положения и до положение уровня. Причем в проецирующее положение плоскость переводится одним вращением, в положение уровня - двойным вращением. Влияние температуры на напряжение и деформации в брусьях.
Определить наименее удаленную вершину многогранника от заданной плоскости. Данная постановка интерпретирует транспортную задачу нахождения оптимального плана расстановки судов на линии или то же самое задачу линейного программирования, в которой наилучшее решение определяется в ближайшей или наиболее удаленной вершине многогранника (области ограничений) минимизирующей функции (плоскости). Пусть плоскость задана следами (так чаще представляют плоскость в задачах линейного программирования).
Способ замены плоскостей проекции. Суть метода состоит в задании новых изображений геометрических фигур удовлетворяющих определенным свойствам. Это может быть какой-либо дополнительный вид фигуры, натуральная величина какой-либо ее грани (например, для построения разверток) или других задач, типа определения угла между гранями, расстояние между двумя объектами и т.д.
Проецирование прямой линии в точку. Задан отрезок прямой, занимающий положение горизонтали. Требуется подобрать направление проецирования и новую плоскость проекций на которую данный отрезок проецировался бы в точку. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Данная задача может быть решена из определения: плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, если в заданной плоскости взять какую-либо прямую и последовательно преобразовать ее точку, то и плоскость в которой она лежит должна стать проецирующей (проецироваться-вырождаться в прямую).
Предмет располагают относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета. Это изображение несёт наибольшую информацию о предмете и принимается в качестве главного.
Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций
Часто возникают задачи двух видов:
1) требуется геометрическую фигуру расположить параллельно плоскости проекций и этим будет определена натуральная величина плоской части фигуры и
2)преобразовать объект так (часто в проецирующее вырожденное положение ребро, или грань) чтобы была возможность проще определить по изображению или расстояние или угол.
Таким образом, при преобразовании возникает четыре важных задачи:
1) уметь преобразовать прямую в линию уровня (таким образом, найти ее натуральную величину),
2) преобразовать прямую в точку (что позволяет решать многие задачи намного проще)
3) преобразовать плоскость в проецирующее положение
4) преобразовать плоскость в положение уровня.
Если решаются эти четыре задачи, то остальные многие основываются на них. При этом возникает, что прямую общего положения можно преобразовать в проецирующее положение двумя заменами (использую принцип последовательной ортогональной замены), причем первая замена выполняет замену в прямую уровня, а вторая замена непосредственно в проецирующее положение.
Плоскость же общего положения можно первой заменой преобразовать в проецирующее положение, а второй заменой в положение уровня. Если прямая или плоскость занимает первоначально частное положение, то дальнейших замен достаточно одной. Так, например, чтобы преобразовать прямую уровня в проецирующее положение достаточно одной замены также как проецирующую плоскость в плоскость уровня.
2 Уроки интегрированного типа по геометрии
2.1 Методы изображения
В преподавании геометрии большое значение имеет наглядность изучаемого материала и его конкретизация путем моделирования или применения других изобразительных средств.
Чаще всего преподаватель иллюстрирует свое изложение при помощи изображений, выполняемых мелом на классной доске. Преподаватель, сопровождающий изложение материала чертежами геометрических фигур, не может применять для этой цели какую-нибудь из известных проекций начертательной геометрии, так как это потребовало бы от него специальных построений и даже решения конструктивных задач, связанных с избранным способом проектирования. Течение учебного процесса и порядка изложения естественно не могут быть нарушены такого рода сторонними для него построениями и задачами. Последние по большей части неизвестны и непонятны для учащихся, да и времени на это не имеется. Отсюда ясно, что выполнение иллюстративных чертежей в какой-либо определенной проекции, в процессе преподавания по большей части невозможно. На практике преподаватель находит выход в произвольном выполнении изображений, заботясь главным образом о том, чтобы они создавали наглядность и помогали учащимся понять и мысленно представить соответствующие геометрические закономерности. Однако такая практика, не опирающаяся на теорию, приводит к многочисленным ошибкам. Часто преподаватель сам не замечает и не подозревает, что его чертежи неверны. Такими же они окажутся и в тетрадях учащихся. Пользование неверными чертежами приводит к тому, что еще слабая интуиция учащихся не укрепляется, а, наоборот, направляется в неправильную сторону при частом употреблении таких чертежей.
Таковы те трудности, которые встречает преподаватель геометрии в своей практической работе.
Отсюда естественно напрашивается вывод о необходимости перестроить процесс выполнения изображений, отнеся элементы предварительного выбора к самому изображению и сведя задачу к определению по этому изображению соответствующего аппарата проектирования. Так как на практике решения этой последней задачи обыкновенно не требуется, то дело сводится лишь к учету расходуемых параметров изображения с тем, чтобы последнее оставалось верным, т. е. представляло бы собой какую-либо проекцию изображаемого объекта.
Такой учет параметров приходится начинать с позиционных свойств изображенной фигуры, а именно: установить, определяет ли данное изображение все эти свойства вполне или же некоторые из них не вытекают из него и могут быть выбраны произвольно. Отсюда возникает необходимость исследовать изображение с точки зрения его полноты (или неполноты), выражая результат в численном виде (коэффициент неполноты).
Понятно, что чем больше неполнота данного изображения, тем больше число параметров, которыми мы располагаем для дальнейших построений. Это увеличивает параметрическое число изображения. Так, для неполного изображения имеет место формула:
p = p + k,
где через p, р и k обозначены соответственно параметрические числа полного и неполного изображений и коэффициент неполноты неполного изображения.
Таким образом, при выполнении иллюстративных чертежей выгодно пользоваться неполными изображениями как имеющими больший запас свободных параметров, которые могут быть использованы при построении изображения.
Ортогональное проектирование необходимо при изображении шара, так как только при этом проектировании очертанием шара является окружность, и мы получаем привычное, наглядное изображение шара. Поэтому изображения, содержащие очертание шара, выполняются обыкновенно в ортогональной проекции и являются менее произвольными (p = 3).
Вследствие этого к ним в меньшей степени применим принцип произвольного выбора элементов.
Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:
методы отображения пространственных объектов на плоскости;
способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;
приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;
способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;
основы моделирования геометрических объектов.
Задачи, связанные с решением вопросов взаимного расположения геометрических фигур на комплексном чертеже, называются позиционными.
Среди позиционных можно выделить две группы задач, представляющих наибольший практический интерес. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность и задачи на взаимное перенесение. Решение позиционных задач на принадлежность предполагает работу с линиями поверхности графически простыми, например прямой или окружностью. Это необходимо для того, чтобы не усложнять построений на комплексном чертеже. Для правильного выбора этих линий надо знать, какие семейства линий несет на себе та или иная поверхность.
Задачи на взаимное пересечение связаны с построением точек, принадлежащих одновременно двум рассматриваемым геометрическим образам, например прямой и плоскости, двум плоскостям, плоскости и поверхности, двум поверхностям. Каждую из этих точек строят в пересечении двух вспомогательных линий. Эти линии должны быть графически простыми и принадлежать одной вспомогательной плоскости или поверхности. Выбор вспомогательных, поверхностей (посредников), несущих в себе вспомогательные линии, зависит от формы пересекающихся поверхностей. Совокупность построенных общих точек позволяет построить линию пересечения геометрических образов.
2.2 Метрические построения на проекционном чертеже
К метрическим относятся задачи, связанные с определением истинных натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже . Можно выделить три группы метрических задач:
1. Группа задач, включающих в себя определение расстояний от точки до другой точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.
2. Группа задач, включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).
3. Группа задач, связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).
Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.
Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.
Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа, а также теоретические положения, изложенные в теме "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости".
2.2.1. Выносные чертежи
Чертеж, на котором построена фигура Ф0 , имеющая форму оригинала заданной плоской фигуры (т. е. подобная фигуре Ф), называют выносным чертежом фигуры Ф.
Если точки P, Q и R принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную в качестве основной, - точки P’, Q’ и R’, то точки пересечения соответственных прямых, т.е. точки S1=PQ∩P’Q’, S2=PR∩P’R’, S3=RQ∩R’Q’, лежат на одной прямой. Эта прямая является основным следом секущей плоскости.
Построение выносных чертежей может быть выполнено вычислительным, а также геометрическим способом.
Задача 1. На ребрах ВВ1 и CD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Построить фигуру, подобную многоугольнику, полученному в сечении кубу плоскостью С1PQ.
Решение (рис. 2, а). Находим точку S1 , в которой пересекаются прямые C1P и BC. Таким образом, прямая S1Q является основным следом плоскости C1PQ, а в сечении получается четырехугольник C1PS1Q.
Рисунок 2
I способ построения – вычислительный. Полагая ребро куба равным a, подсчитаем стороны треугольника C1S1Q. Как нетрудно показать, точка Р – середина отрезка C1S1 и PS2║ C1Q. Поэтому ясно, что, построив треугольник, подобный оригиналу треугольника C1S1Q, можно будет затем построить и искомую фигуру.
Из прямоугольного треугольника C1S1С, в котором C1S=2ВС=2a, находим, что C1S1=a√5. Затем из прямоугольного треугольника C1СQ получаем C1Q=½ a√5 и из прямоугольного треугольника CS1Q: S1Q=½ a√17.
Выбирая теперь некоторый отрезок в качестве отрезка, равного а, построим отрезки x, y, z, заданные следующими формулами: x= a√5 , y=½ a√5, z=½ a√17, например, так, как это сделано ни рисунке 2б.
Далее на рисунке 2в строим треугольник (С1)0Q0(S1)0 со сторонами (С1)0(S1)0 =kx, (S1)0Q0=kz, полученными на рисунке 2б.
Строим затем точку P0 – середину стороны (C1)0(S1)0 этого треугольника и проводим через нее прямую P0(S1)0║(C1)0Q0 . Четырехугольник (С1)0Q0(S2)0P0 – фигура, подобная заданному сечению куба плоскостью C1РQ (т. е. это выносной чертеж многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью C1РQ).
Рисунок 3
II способ – геометрический. Так как все квадраты подобны между собой, то квадрат (С1)0С0D0(D1)0 (рис. 3, а) подобен оригиналу грани C1CDD1 куба. Построив на этом изображении точку Q0 – середину стороны C0D0 и соединив точки (С1)0 и Q0 , получим отрезок (С1)0Q0 , который можно принять за сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 , подобного оригиналу треугольника C1QS1. С помощью квадрата (С1)0C0B0(B1)0 (рис. 3 б), равного квадрату (С1)0C0D0(D1)0 , построенному на рисунке 2а, строим отрезок (С1)0(S1)0 , который будет принят за сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 , подобно оригиналу треугольника C1QS1.
С помощью квадрата A0B0C0D0 (рис. 3в), равного квадрату, построенному на рисунке 3а, строим отрезок (S1)0Q0 , который примем за третью сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 . Получив, таким образом, все стороны треугольника (С1)0Q0(S1)0 , строим этот треугольник. Далее, как и при вычислительном способе решения, строим точку Р0 – середину стороны (S1)0(C1)0 и т. д.
Рисунки а, б, в можно объединить в один рисунок, например, в рисунок г. Так как треугольник (С1)0Q0(S1)0 строится с точностью до подобия, то его сторонами являются отрезки, равные k(С1)0(S1)0 , k(С1)0Q0 и k(S1)0Q0 , где k>0, например, k=1.
Основными способами решения задач построения на изображениях плоских фигур являются:
1. Способ выносных чертежей.
2. Вычислительный способ.
3. Геометрический способ.

2.2.2. Построения на изображениях пространственных фигур
Построение прямой, перпендикулярной заданной прямой.
Задача 2.Боковое ребро правильной призмы ABCDA1B1C1D1 в два раза больше стороны ее основания. На ребрах АВ и ВB1 призмы заданы соответственно точки Р и В2 – середины этих ребер. Построить прямую, проходящую через точку Р перпендикулярно прямой В2D.
Решение. Способ выносных чертежей (рис. 4а). Соединим точку Р с точками D и В2 . Построим треугольник, подобный оригиналу треугольника В2DР.
Рисунок 4
Фигурой, подобной оригиналу грани ABCD, является квадрат A0B0C0D0 (рис. 4б). Отрезок D0P0 , где точка P0 – середина стороны A0B0 , примем за одну из сторон искомого треугольника.
Фигурой, подобной оригиналу грани ABВ1А1, является прямоугольник A0B0(В1) 0(А1)0 с отношением сторон A0B0: A0(А1)0=1:2 (рис. 4в). Причем его сторона A0B0 взята равной стороне квадрата, построенного на рисунке 3б. Строим на сторонах A0B0 и B0(В1) 0 соответственно точки P0 и (В2) 0 – середины этих сторон. Отрезок P0(В2) 0 – это еще одна из сторон искомого треугольника.
Строим прямоугольник B0(В1)0(D1)0D0 (рис. 4г), сторону B0(В1)0 которого возьмем с рисунка 4в, а сторону B0D0 возьмем равной диагонали квадрата, построенного на рисунке 4б. Отрезок (В2)0D0 , где точка (В2)0 – середина стороны B0(В1)0 , - это третья сторона искомого треугольника.
Строим треугольник P0(В2)0D0 по трем сторонам, найденным выше. В треугольнике P0(В2)0D0 строим P0Н0┴(В2)0D0 .
Возвращаемся к рисунку 3а. С помощью луча l, проведенного через точку В2 , строим точку Н, такую, что В2Н: В2D=(В2)0H0:(В2)0D0. Строим искомую прямую РН.
Так как фигуры на рисунке 4б, в, г, имеют общие стороны, то их можно объединить, например, так, как это показано на рисунке 4е.
Вычислительный способ. Подсчитаем стороны треугольника PB2D (рис. 4а). Для этого обозначим сторону основания призмы за а. Тогда ВВ1=2а. Далее из прямоугольного треугольника ADP:
Из прямоугольного треугольника РВВ2:
И из прямоугольного треугольника BB2D:
Если PH┴B2D, то выполняется соотношение.
Откуда
Тогда
С помощью вспомогательного луча l строим на отрезке B2D точку Н, такую, что B2Н: B2D=1:2. Строим искомую прямую РН.
В некоторых случаях построение прямой, перпендикулярной данной, можно построить и геометрическим способом.
Геометрический способ. Ясно, что прямоугольные треугольники ADP и BB2P равны (по двум катетам). Тогда DP=B2P, т. е. треугольник B2DP – равнобедренный. Это значит, что медиана РН этого треугольника является и его высотой, т. е. прямая РН является искомой прямой.
Построение прямой, перпендикулярной заданной плоскости.