Практическое задание № 2 вариант 5

Оглавление
Задание на курсовую работу
Введение (актуальность темы, цели и задачи курсовой работы, краткое содержание глав основной части курсовой работы)
Глава 1. Теоретическая часть
Постановка задачи
Локализация корней
Уточнение корней
Методы уточнения корней
Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
Метод Ньютона (метод касательных)
Глава 2. Практическая часть
Заключение (итоги и выводы, предложения и рекомендации по использованию полученных результатов и практической деятельности);
Список литературы

Практическое задание № 2 вариант 5

Отделяя таким образом корни, по сути, получаются их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска (h/2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводитсяс помощью других, более экономичных методов. Уточнение корнейНа данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) . Это означает, что вычисленное значение корня должно отличаться от точного не более чем на величину : .Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией (от латинского iteratio – повторение), а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня :,(2)то говорят, что итерационный процесс сходится.Сходимость итерационного процесса означает, что погрешность каждого последующего приближения должна быть меньше погрешности предыдущего приближения, т.е. погрешность приближенных значений с каждым шагом должна уменьшаться: В общем случае это неравенство можно представить в виде:, (3)где и – некоторые числа, значения которых определяются методом уточнения корня. От значений q и зависит насколько с каждым шагом уменьшается погрешность приближенных значений и, соответственно, насколько быстро можно получить приближенное значение с заданной точностью. Главным показателем скорости сходимости метода является значение , называемое порядком сходимости. При погрешность с каждым шагом убывает линейно, в этом случае говорят о линейной сходимости. Если , то говорят, что имеет место сверхлинейная сходимость.Методы уточнения корнейМетод половинного деления (дихотомии)Считаем, что отделение корней уравнения (1) проведено и на отрезке расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью . В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка: (рисунок 5). Затем исследуем значение функции на концах отрезков и . Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка (на рисунке 5 это отрезок ). Вторую половину отрезка , на которой не меняет знак, отбрасываем. В качестве следующего приближения корня принимаем середину нового отрезка и т.д. Таким образом, k-е приближение вычисляется какс1с0abx f(a) f(b)Рис. 5. Метод половинного деления. f(с0 )(4)После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций в раз:(5)Прекратить итерационный процесс следует, когда будет достигнута заданная точность, т.е. при выполнении условия(6)Поскольку корень принадлежит отрезку , а – середина этого отрезка, то величина всегда будет меньше половины длины отрезка (смотри рисунок 5), т.е.(7)Следовательно, условие (7) будет выполнено, если(8)Таким образом, итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие (8).В отличие от большинства других методов уточнения, метод половинного деления сходится всегда, т.е. обладает безусловной сходимостью. Кроме этого он чрезвычайно прост, поскольку требует лишь вычисления значений функции и, поэтому применим для решения любых уравнений.Однако метод половинного деления довольно медленный. С каждым шагом погрешность приближенного значения уменьшается в два раза, т.е.(9)поэтому данный метод является методом с линейной сходимостью.При реализации метода следует учитывать, что функция вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью . Вблизи корня значения функции малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимы с погрешностью ее вычисления. При подходе к корню можно попасть в полосу шумов и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому целесообразно задать ширину полосы шумов и прекратить итерационный процесс при попадании в нее. Если принять , то итерационный процесс можно завершать, когда значение функции после k-й итерации станет меньшим по модулю ., т.е.(10)Также необходимо иметь ввиду, что при уменьшении интервала увеличиваются погрешности вычисления его длины за счет вычитания близких чисел.Метод Ньютона (метод касательных)Выбор начального приближения в методе Ньютона. Сходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближения . Это можно заметить из геометрической интерпретации метода. Так, если в качестве начального приближения взять точку (рисунок 6), то на сходимость итерационного процесса рассчитывать не приходится.x0xРис. 6.x*Если же в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность.В общем случае, если задан отрезок , содержащий корень, и известно, что функция монотонна на этом отрезке, то в качестве начального приближения можно выбрать ту границу отрезка , где совпадают знаки функции и второй производной . Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня. Пусть известно начальное приближение к корню . В этой точке проводится касательная к кривой (рисунок 7). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую рассматривают в качестве следующего приближения. Значение легко найти из рисунка:, выражая отсюда , получим .Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k+1-го приближения имеет вид, (11)Из формулы (11) вытекает условие применимости метода: функция должна быть дифференцируемой и в окрестности корня не должна менять знак. Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (10) или заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.Рис. 7. Метод Ньютона.