Метод Монте-Карло. Моделирование дискретных и непрерывных величин.

Содержание:
Введение
I. Теоретическая часть
1.1 Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин
Некоторые сведения теории вероятностей
Общая схема метода Монте-Карло
1.2 Вычисление интегралов
1.3 Вычисление кратных интегралов
2. Практическая часть
2.1 Пример 1
2.2 Пример 2
2.3 Пример 3
Заключение
Список литературы

Метод Монте-Карло. Моделирование дискретных и непрерывных величин.

На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях: все слагаемые не обязаны быть одинаковыми и независимыми; существенно только, чтобы отдельные слагаемые не играли большой роли в сумме. Эта теорема оправдывает часто встречающиеся нормальные случайные величины. В самом деле, когда встречается суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина оказывается нормальной.Общая схема метода Монте-КарлоДопустим, что требуется вычислить какую-то неизвестную величину . Попытаемся подобрать такую случайную величину , чтобы . Пусть при этом .Рассмотрим независимых случайных величин распределения которых совпадают с распределением . Если достаточно велико, то, согласно центральной предельной теореме, распределение суммыбудет приблизительно нормальным с параметрами . Из (1.6) следует, что .Последнее соотношение перепишем в виде:(1.7)Это соотношение даёт и метод расчёта , и оценку погрешности.Найдём значений случайной величины . Из (1.7) видно, что среднеарифметическое этих значений будет приближенно равно . С большой вероятностью погрешность приближения не превосходит величины . Эта погрешность стремится к нулю с ростом . На практике часто используют не оценку сверху , а на вероятную ошибку, которая приближенно равна Именно такой обычно порядок фактической погрешности расчёта, которая равна.Для получения случайных чисел используют обычно три способа: таблицы случайных величин, генераторы случайных чисел и метод псевдослучайных чисел.Таблицы случайных чисел используют предпочтительно при расчётах вручную. Определяющую роль в этом играют два факта: 1) при использовании ЭВМ легче и удобней воспользоваться генератором случайных чисел, получаемых тут же, чем загружать из памяти значения таблицы, которая к тому же, будет занимать там место. 2) При подсчёте вручную нет необходимости использовать ЭВМ, так как часто необходимо выяснить лишь порядок искомой величины.Генераторы случайных чисел анализируют какой-либо процесс, доступный для них (шумы, скачки напряжения) и составляют последовательность из 0 и 1, из которых составляются числа с определёнными разрядами, однако такой метод получения случайных величин имеет свои недостатки. Во-первых, трудно проверить вырабатываемые числа. Проверки приходится делать периодически, так как из-за каких-либо неисправностей может возникнуть так называемый дрейф распределения (нули и единицы в каком-либо из разрядов станут появляться не одинаково часто). Во-вторых, обычно все расчёты на ЭВМ проводятся несколько раз, чтобы исключить возможность сбоя. Но воспроизвести те же самые случайные числа невозможно, если их только не запоминать по ходу счёта. А если запоминать, то снова появляется случай таблиц.Таким образом, самым эффективным способом получения случайных чисел – это использование псевдослучайных чисел.Числа, получаемые по какой-либо формуле и имитирующие значения случайной величины , называются псевдослучайными числами.Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом. Он называется методом середины квадратов.Пусть задано 4-значное число . Возведём его квадрат. Получим 8-значное число . Выберем 4 средние цифры этого числа и положим .Далее и т.д.Но этот алгоритм не оправдал себя, так как получается слишком много малых значений. Поэтому были разработаны другие алгоритмы. Наибольшее распространение получил алгоритм, называемый методом сравнений (Д. Лемер): определяется последовательность целых чисел , в которой начальное число задано, а все последующие числа вычисляются по одной и той же формуле при (1.8)По числам вычисляются псевдослучайные числа(1.9)Формула (1.8) означает, что число равно остатку, полученному при делении на , такой остаток называют наименьшим положительным вычетом по модулю Формулы (1.8), (1.9) легко реализовать на ЭВМ.Достоинства метода псевдослучайных чисел довольно очевидны. Во-первых, на получение каждого числа затрачивается всего несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ. Во-вторых, программа занимает не так много места в памяти. В-третьих, любое из чисел может быть легко воспроизведено. В-четвёртых, необходимо лишь один раз проверить «качество» такой последовательности, затем её можно много раз безбоязненно использовать при расчёте однотипных задач.Единственный недостаток метода – ограниченность количества псевдослучайных чисел, так как если последовательность чисел вычисляется на ЭВМ по формуле вида , то эта последовательность обязательно периодическая. Впрочем, для наиболее распространённых псевдослучайных чисел период столь велик, что превосходит любые практические потребности. Подавляющее большинство расчётов по методу Монте-Карло осуществляется с использованием псевдослучайных чисел.Значения любой случайной величины можно получить путём преобразования значений одной какой-либо случайной величины. Обычно роль такой случайной величины играет случайная величина , равномерно распределённая в (0, 1).Процесс нахождения значения какой-либо случайной величины путём преобразования одного или нескольких значений называется разыгрыванием случайной величины .Допустим, что необходимо получать значения случайной величины , распределённой в интервале , с плотностью , тогда можно доказать, что значения можно находить из уравнения(1.10),т.е. выбрав очередное значение , надо решить уравнение (1.10) и найти очередное значение .Может оказаться, что разрешить уравнение (1.10) относительно трудно, например, в случаях, когда интеграл от не выражается через элементарные функции или когда плотность задана графически. Предположим, что случайная величина определена на конечном интервале и плотность её ограничена .Разыгрывать значение можно следующим образом:1) выбираются два значения и случайной величины и строится случайная точка с координатами .2) если точка лежит под кривой , то полагаем , если же точка лежит над кривой , то пара отбрасывается и выбирается новое значение.1.2 Вычисление интеграловРассмотрим функцию , заданную на интервале , требуется приближенно вычислить интеграл(2.1)Этот интеграл может быть несобственным, но абсолютно сходящимся.Выберем произвольную плотность распределения , определённую на интервале . Наряду со случайной величиной , определённой в интервале с плотностью , необходимо определить случайную величинуСогласно соотношению , получим – .Рассмотрим теперь одинаковых независимых случайных величин и применим к их сумме центральную предельную теорему. Формула (1.7) в этом случае запишется так:Последнее соотношение означает, что если выбирать значений , то при достаточно большом (2.2)Оно показывает также, что с очень большой вероятностью погрешность приближения (2.2) не превосходит .Для расчёта интеграла (2.1) можно использовать любую случайную величину . Определённую в интервале с плотностью . В любом случае . Однако дисперсия , а с ней и оценка погрешности формулы (2.2) зависят от того, какая величина используется, так как (2.3)Нетрудно доказать, что это выражение будет минимальным тогда, когда пропорциональна . Использовать плотность для расчёта практически невозможно, так как для этого нужно знать значение интеграла , а его вычисление представляет собой задачу, равноценную задаче о вычислении интеграла (2.1). Поэтому желательно, чтобы плотность была пропорциональна .Конечно, выбирать очень сложные нельзя, так как процедуры разыгрывания станет очень трудоёмкой. Оценку (2.2) с плотностью , сходной , называют существенной выборкой.Также если стоит задача вычислить интеграл (2.1), преобразуем его к виду (2.6)Если теперь обозначить (2.7)То интеграл принимает вид – (2.8)и его можно вычислить при помощи метода статистических испытаний.В частном случае, если и конечны или их можно считать конечными приближенно, в качестве целесообразно выбрать равномерный закон распределения.Как известно, плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале равна:(2.9)Подставим в интеграл (2.6) значение из формулы (2.9) и получим:(2.10)Процедура вычисления: Из множества равномерно распределённых случайных чисел выбирается . Для каждого значения вычисляется , затем вычисляется среднее значение функции на интервале (a, b)(2.11)Таким образом, величина интеграла (2.10) может быть представлена в виде следующей формулы(2.12)Рассмотренный частный случай находит широкое применение интегралов методом статистического моделирования в силу того, что границы области определения могут быть легко приведены к пределам интегрирования .1.3 Вычисление кратных интеграловОбычно при вычислении кратных интегралов методом Монте-Карло используют один из двух способов.Первый способ: Пусть требуется вычислить кратный интеграл(3.1)по области G, лежащей в мерном единичном кубе .Выберем равномерно распределённых на отрезке последовательностей случайных чиселТогда точки можно рассматривать как случайные, равномерно распределённые в мерном единичном кубе.Пусть из общего числа случайных точек точек попали в область G, остальные оказались вне G. Тогда при достаточно большом имеет место приближенная формула:(3.2),где под понимается мерный объём области интегрирования. Если вычисление объёма затруднительно, то можно принять , и для приближенного вычисления интеграла получим:(3.3)Указанный способ можно применить к вычислению кратных интегралов и для произвольной области , если существует такая замена переменных, при которой новая область интегрирования будет заключена в мерном единичном кубе.Второй способ: Если функция y=f(x1, x2, …, xm)≥0, то интеграл (3.1) можно рассматривать как объём тела в (m+1) -мерном пространстве, т.е.(3.4),где область интегрирования определяется условиямиЕсли в области , то введя новую переменную , получим, где область лежит в единичном мерном кубе .