Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций

1.Применение основных свойств функций
1.1 Использование ОДЗ
1.2 Ограниченность функций
1.3 Монотонность
1.4 График
1.5 Метод использования для некоторых функций.
...

по теме

имеется

Достаточно найти x > 0 , x ≠ 1Рассмотрим x ϵ (0;1) ∪ (1;∞)(*) x3– x = sin πxx ∈ (0;1) ⟹ x- x < 0 , sin π x > o ⟹ ∅1) x ∈ (1;∞) ⟹ x3 – x < 0, q (x_) = sin πx - значения разных знаков2) x ∈(1; 2] ⟹ sin π x ≤ 0⟹ ∅ при x ϵ (1; 2]3) x ∈(2; ∞) ⟹ x 3– x = x (x2 - 1)> 2 (22 - 1)= 2 * 3 = 6, а |sin πx| ≤ 1⟹ ∅ Ответ : x = 0 , x = ± |Задание 3. 2loq3 (4+x2) = loq2 (1-(x+3 )2) Пример 3. 1-x1+x < 2x x≠ -1 (-∞; -1) ∪ (-1; ∞) = (-∞; -1)∪ (-1; 0] ∪ (0; ∞)1) x ∈-∞-1:qx= 1-x1+x < 0, f(x) = 2x> 0 ⟹ x ϵ (-∞ ; - 1)2) x ∈(-1;0]qx= 1-x1+x = 1 - 2x1+x<0 ≥1, fx=2x ≥ 1 ⟹ решения нет3) x ∈(0; ∞)qx=1-x1+x= 1 - 2x1+x< 1 , q (x) = 2x > 1⟹ x ∈ (0; ∞)Задание 4. 2x2-4+9 < 1|+|x-3|Пример 4. sin5 x + 1cos7 x = cos5 x + 1cos7x (*) 1cos7x - cos x = 1sin7x - sin5x (**) | cos x0 | < | , | sin x0 | < |сos x0 и sin x0 - одинаковые числа.(**) сos7 x0 sin7 x0 (sin5 x0 - сos5 x0 ) = сos7 x0 - sin7 x0 (***)A2l+1 - b 2l+1= (a-b) (a2l+a2l-1 b+ab2l-1 + b2l) ⟹ (***) (sin5 x0 - сos5 x0) f (x0) =0, где (****)F (x0) = (sin x0 сos x0)7 (sin4 x0 + sin3 x0 - сos x0 +сos4 x0) + (sin6 x0 + sin5 x0cosx0 + cos6 x0), так как sin x0 сos x0 – одного знака⟹ f(x0)> 0⟹ (****)sin x0 = cosx0 ⟹ для любого решения (*)sin x = cos x⟹ решение (*) Итак, (*) sin x = cos x . X = π4 + πn; n ϵ π.1.3. Монотонность Свойства монотонности основываются на смысловых утвержденияхm1. При f (x) – строго монотонна функция на промежутке I . f (x) =c, c = const., но может быть не более одного правильного решения. m2. f (x), q(x) непроизводны f(x) = q(x) и может иметь не более одного правильного решения.Пример 1. x2 x+2x+3 = 64 x ≤0 x2x+2x+3 ≤ 0∅ x > 0 – x2x+2x+3 строго возрастающая функция x2x+2x+3 строго возрастающая функция как произведение строго возрастающих функций.x > 0 y = x2x+2x+3 принимает каждая своё значение имеет не более одного решения.Задание 1. x2x = 8 Задание 2. xx = 27Задание 3. loq2 x = 3 – xПример 2. 2xx + 3x + 4x < 3 (*)Функции y = 2x , y = 3x, y =4 x непроизводные и строго возрастающие. Принимают не более одного решения функции y = 2x + 3x + 4x 2 x+3x+4x = 3 x = 0 Непроизводны и монотонны функцииx > 0 2x + 3x + 4X > 3 , x < 0 2x + 3x + 4x < 3(*) x < 0 Задание 4. 2x + 3x + 41+x < 5 Пример 3. ∜ 18 – x - 8x-2 = 2ОДЗ: 18-x ≥0x-2≥0 xϵ [2 , 18] ОДЗ f (x) = - 8x-2 q(x) ∜ 18- x, h(x) = f (x) + q (x) непрерывны и убывают , поэтому h (x) каждое значение принимают только в этой точке.Так h (2) = 2 ⟹ x =2Задание 5. 5х-2 + x+1 = 3Задание 6. 12x + 5x = 13xПример 4. 6х +2x3+lq3 (x+2 ) - 1-x < 4ОДЗ: x≥0x+2>01-x≥0 х [0 , 1]Не ОДЗ f (x) – 6x +2x3+lq3 x+2 1-x является непрерывной и строго возрастающей, т.к. f (1) = 4, то x ϵ [0, 1).Задание 7. 4x-2 + 4x-x > ∜2Пример 5. lq2 (| x -1|+1) + 3(x-1) = 2 (*) lq2 (|x-1|+ 1) = 2 - 3(x-1)Функция f (x) = lq2 (|x-1|+1) и q (x) = - 3x-1+ 2f (x) – убывает (-∞, 1] и возрастает [ -∞, 1)q (x) - убывает [1,∞ ) и возрастает (-∞, 1]Так как [1, ∞) f (x) ↑ q (x) ↓, то f(x) = q(x) может иметь не более одного корня: x =0 Ответ: x1 = 0 x2 = 2Задание 8. 3 - | -| 3-1| = 2 lq5 |6-x|Пример 6. 82-x2> x3 + x -1 ОДЗ: { 2- x2 ≥0 x [- √2, √2] а) x6 [- √2, 0 ] 82-x2≥0x3+x-1≤ -1 ⟹ ∅ б) x6 (0,2)q (x) - непрерывная и строго возрастающая , а f(x) непрерывная и строго убывающая, то уравнение f(x) = q(x) x = 1x6 (0,1) fx= 82-x2>1qx=x3+x<1 ⟹ x ∈ (0,1)x6 [1, √2] fx<1qx>1 ⟹ ∅Ответ: [-√2,1)Задание 9 2-x-x 3x+1Задание 10 1+x > 1 - x2 - x281.