Шахматная математика

Одной из самых древних интеллектуальных игр на земле является игра в шахматы, которая возникла, как считают специалисты, на огромной территории от Туркменистана до Индии. На протяжении веков эта удивительная игра занимает умы людей. Шахматные партии уже давно стали примером логически безупречных умозаключений. Математика и шахматы имеют много общего. Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, исследованию операций, теории графов, теории чисел и комбинаторике.

Особый раздел математических задач - это так называемые олимпиадные задачи. Эти задания постоянно встречаются на математических олимпиадах и различных конкурсах. Термин «олимпиадная задача» имеет множество определений и толкований. В данной работе под олимпиадными задачами будут пониматься задачи, которые традиционными алгоритмами и методами не решаются или стандартные методы используются в необычной ситуации. Хорошую олимпиадную задачу характеризует отнюдь не лежащее на поверхности, необычное, зачастую неожиданное, решение, которое не требует дополнительных знаний, не предусмотренных школьной программой. Но эти знания используются в новых нетипичных ситуациях. Для этих задач характерны достаточно специфическая формулировка и практически полное отсутствие стандартных школьных математических алгоритмов их решения. задачи с оригинальной логикой решения.

«Шахматная» математика – один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур.

В последнее время большую популярность получили шахматы, играемые на досках нетрадиционной конфигурации. Одними из самых популярных нетрадиционных шахмат по праву считаются цилиндрические шахматы.

В данной работе рассмотрены олимпиадные математические задачи, которые обычно решаются на обычной шахматной доске, но «перенесенные» на доску цилиндрическую. Полностью рассмотрены задачи, связанные с независимостью шахматных фигур. Проведен сравнительный анализ ситуаций, которые возникают на обычной и цилиндрической досках размера 8×8. Выведены все обобщения для досок размера n×n.

1.1 Связь математики и шахмат

Математика и шахматы имеют много родственного. Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, исследованию операций, теории графов, теории чисел и комбинаторике.

...

1.3 Цилиндрические шахматы

Особый интерес вызывают задачи, связанные с шахматными досками нетрадиционной конфигурации. Существуют мини- и максишахматы, которые получаются путем изменения размеров доски. В шестигранных (или гексагональных) шахматах доска для игры отличается от стандартной доски своей формой. Она имеет вид шестиугольника. При помощи тех или иных геометрических или топологических преобразований стандартной доски нетрудно соорудить самые разнообразные доски: цилиндрические, сферические, тороидальные, конусоидальные и другие.

...

2.2 Числа независимости для шахматных фигур на обычной и цилиндрической досках

Число независимости ладьи на обычной и цилиндрической досках

На квадратной доске n×n расставить более n ладей таким образом, чтобы они не угрожали друг другу, невозможно. Так как каждая ладья ставит под удар одну горизонталь и одну вертикаль, то, если ладей будет более n, то несколько фигур будут располагаться на полях, которые находятся под ударом других фигур. Определим количество способов расстановки n мирных ладей.

...

Таблица 1 – Числа независимости и количество расстановок

...

2.3 Следствие задач о независимости шахматных фигур

Как было уже сказано, при решении обозначенной комбинаторной проблемы рождается много интересных задач. Рассмотрим одну из них, как следствие результатов, полученных выше.

Задача

При какой раскраске доски фигуры, стоящие на полях одного цвета, не угрожают друг другу. Решим данную задачу для коня, слона и ладьи на стандартной и цилиндрической досках.

Стандартная доска

Меньше всего красок – две – требуется в случае коней. Собственно, здесь и раскрашивать нечего, годится обычная черно-белая доска. Двух красок хватает для раскраски любой доски n×n, а при n=1 или 2, можно ограничиться и одной краской. (Выше было показано, что конь ставит под удар только коня с поля другого цвета). В случае слонов и ладей для раскраски обычной доски достаточно восьми красок (а для раскраски доски n×n – n красок).

...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Шахматная» математика – один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений.

В работе рассмотрены олимпиадные математические задачи, которые обычно сформулированы для обычной шахматной доски, но «перенесены» на доску цилиндрическую.

...