Эконометрика, вариант 82

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып ...

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 82 y15 y21 y33

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Таблица 4.1.
Исходные данные
Год 2002 2003 2004 2005
Квартал I II III I II III IV I II III IV I
хt 685 837 1161 1151 822 1383 884 1309 1028 1771 1310 137

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып олнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 82 y15 y21 y33

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Таблица 4.1.
Исходные данные
Год 2002 2003 2004 2005
Квартал I II III I II III IV I II III IV I
хt 685 837 1161 1151 822 1383 884 1309 1028 1771 1310 137

67
67
20,49
20,1
0,4
0,1
310,5
0,1
68
72
20,61
20,1
0,5
0,3
511,7
0,1
69
45
20,56
20,2
0,3
0,1
19,2
0,1
70
35
20,42
20,3
0,1
0,0
206,8
0,0
71
69
19,73
20,1
-0,4
0,1
384,9
0,2
72
62
19,42
20,1
-0,7
0,5
159,3
0,6
73
36
20,17
20,3
-0,1
0,0
179,0
0,0
74
42
19,87
20,3
-0,4
0,2
54,5
0,1
75
52
20,26
20,2
0,1
0,0
6,9
0,0
76
56
20,04
20,2
-0,1
0,0
43,8
0,0
77
66
20,34
20,1
0,2
0,0
276,2
0,0
78
32
20,63
20,3
0,3
0,1
302,1
0,2
79
68
20,32
20,1
0,2
0,0
346,7
0,0
80
47
20,06
20,2
-0,2
0,0
5,7
0,0
81
59
20,04
20,2
-0,1
0,0
92,5
0,0
82
29
20,62
20,3
0,3
0,1
415,3
0,2
83
36
20,53
20,3
0,2
0,1
179,0
0,1
84
57
20,18
20,2
0,0
0,0
58,1
0,0
85
54
20,4
20,2
0,2
0,0
21,3
0,0
86
60
20,26
20,2
0,1
0,0
112,8
0,0
87
45
19,79
20,2
-0,5
0,2
19,2
0,2
88
54
20,33
20,2
0,1
0,0
21,3
0,0
89
49
20,24
20,2
0,0
0,0
0,1
0,0
90
81
19,83
20,0
-0,2
0,0
999,8
0,2
Сумма
2469,0
1011,2
1011,2
0,0
3,5
10609,8
3,8
Среднее
49,38
20,22
20,22
0,00
0,07
212,20
0,08
Остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия:
.
Общая (полная) дисперсия результативного признака:
.
Значение коэффициента детерминации в случае парной линейной регрессии можно вычислить как квадрат коэффициента корреляции:
.
В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом:
.
Как видим, значения коэффициентов детерминации совпадают, что подтверждает правильность расчетов.
Коэффициент детерминации показывает, что 9,7% вариации результативного признака (дебиторская задолженность) объясняется изменением признака-фактора (дивиденды, начисленные по результатам деятельности). Остальные 90,3% вариации складываются под воздействием иных причин, не рассматриваемых в модели.
3. Оценим качество уравнения с помощью F-критерия Фишера.
F-критерий Фишера заключается в следующем:
Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент детерминации равен 0, и уравнение регрессии статистически малозначимо и ненадежно. Альтернативная ей гипотеза будет заключаться в том, что коэффициент детерминации отличен от 0, т.е. связь между X и Y статистически значима, и уравнение регрессии качественно описывает эту взаимосвязь.
Вычисляется наблюдаемое значение критерия по формуле
.
Находим: .
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы , получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, а значит, нулевая гипотеза H0 о случайной природе полученного уравнения регрессии отвергается в пользу гипотезы H1, свидетельствующей в 95% случаев о его статистической значимости и существенности зависимости размера диведендов от объема дебиторской задолженности.
4. Выполним прогноз.
Определим значение фактора X, которое составит 1,05 от среднего значения:
(млн. руб.)
Тогда находим прогнозное значение Y:
(млн.руб.)
Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле
.
(млн.руб.)
(млн.руб.)
При доверительной вероятности 95% t=1,96. Определим доверительный интервал прогноза:
Относительная погрешность: .
Вывод: если размер дебиторской задолженности предприятия составит 51,85 млн. руб., выплаченные дивиденды с вероятностью 95% будут находиться в пределах от 19,68 до 20,74 млн.руб. Отметим, что погрешность прогноза составила 2,6%, т.е. точность прогноза высокая.
Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.
Решение
1. Добавим в рассмотрение еще один признак – курсовую цену акции.
Таблица 2.1.
Исходные данные
№ наблюдений
Дебиторская задолженность, млн.руб. (Х1)
Курсовая цена акции (Х2)
Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб. (У)
41
47
112
20,37
42
33
80
20,03
43
28
120
20,65
44
58
88
20,19
45
32
104
20,24
46
58
94
20,27
47
44
107
20,69
48
68
82
19,85
49
64
84
19,87
50
25
101
20,2
51
54
98
20,33
52
70
89
20,2
53
19
118
20,46
54
28
90
20,17
55
54
123
20,62
56
48
107
19,79
57
44
97
20,34
58
39
126
20,51
59
26
147
20,04
60
58
88
20,39
61
28
111
20,27
62
47
121
20,06
63
58
104
20,39
64
62
63
19,94
65
62
99
19,95
66
42
114
20,23
67
67
99
20,49
68
72
94
20,61
69
45
124
20,56
70
35
117
20,42
71
69
64
19,73
72
62
52
19,42
73
36
114
20,17
74
42
78
19,87
75
52
85
20,26
76
56
57
20,04
77
66
98
20,34
78
32
119
20,63
79
68
94
20,32
80
47
94
20,06
81
59
83
20,04
82
29
118
20,62
83
36
116
20,53
84
57
96
20,18
85
54
117
20,4
86
60
93
20,26
87
45
81
19,79
88
54
103
20,33
89
49
86
20,24
90
81
79
19,83
Составим матрицу парных коэффициентов корреляции. Для этого воспользуемся специальной функцией MS Excel: Сервис  Анализ данных  Корреляция (рис. 2.1.)
Рис. 2.1. Диалоговое окно «Корреляция»
Получим следующую таблицу (табл. 2.2):
Таблица 2.2.
Матрица парных коэффициентов корреляции
У
Х1
Х2
У
1
Х1
-0,312
1
Х2
0,642
-0,559
1
Наиболее тесно связаны результативный признак Y (дивиденды) и признак-фактор X2 (курсовая цена акции), т.к. соответствующий коэффициент корреляции имеет наибольшее значение. Связь между дивидендам и дебиторской задолженность немного меньше. Связь дивидендов с курсовой ценой акции прямая; по силе связь между результативным показателем и факторам, а также между факторами между собой носит заметный характер.
Уравнение множественной регрессии будем искать в виде
.
Выбираем Сервис  Анализ данных  Регрессия (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Диалоговое окно «Регрессия»
Рис. 2.3. Вывод итогов
Получаем следующее уравнение:
.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении дебиторской задолженности предприятия на 1 млн. руб., дивиденды растут в среднем на 0,0013 млн. руб., при условии, что курсовая цена акции не изменяется.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении курсовой цены акции на 1 руб., дивиденды увеличиваются в среднем на 0,01 млн. руб., при условии, что дебиторская задолженность предприятия остается неизменной.
2. Для дальнейшего анализа понадобятся средние значения признаков, а также их средние квадратические отклонения.
Сервис  Анализ данных  Описательная статистика
Рис. 2.3. Диалоговое окно «Описательная статистика»
Получаем следующие результаты (табл. 2.3.):
Таблица 2.3.
Средние значения и средние квадратические отклонения
Y
 
X1
 
X2
 
Среднее
20,22
Среднее
49,38
Среднее
98,56
Стандартное отклонение
0,28
Стандартное отклонение
14,57
Стандартное отклонение
18,92
Вычислим коэффициенты эластичности:
;
.
Коэффициенты эластичности оценивают влияние факторов на результат: при увеличении дебиторской задолженности предприятия на 1% от своего среднего значения, дивиденды увеличиваются на 0,003% от своего среднего значения; при увеличении курсовой цены акции на 1% от своего среднего значения, дивиденды увеличиваются на 0,049% от своего среднего значения.
3. Выполним расчет -коэффициентов, т.е. построим уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где , , - стандартизованные переменные.
.
Получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
.
Коэффициенты регрессии, эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии, соответствующие фактору X1 (дебиторская задолженность) отрицательные и имеют небольшое значение по модулю; аналогичные показатели, соответствующие фактору X2 (курсовая цена акции), имеют положительные значения и их величины более существенны. Заметим также, что парный коэффициент корреляции между факторами X1 и X2, равный -0,559 больше, чем коэффициенты корреляции . Это говорит о наличии мультиколлинеарности в модели. Получается что, факторный признак X1 (дебиторская задолженность) влияет на величину фактора X2 (курсовая цена акции), а фактор X2 влияет на величину Y (дивиденды). Между Y и X1 должна быть обратная зависимость, т.к. во-первых, коэффициент корреляции имеет отрицательное значение, а во-вторых, очевидно, что чем больше дебиторская задолженность предприятия, тем меньше оно способно выплачивать дивидендов. Полученные показатели не противоречат этому.
4. Парные коэффициенты корреляции были определены в п. 1:
; ; .
Вычислим множественный коэффициент детерминации:
.
Множественный коэффициент детерминации показывает, что вариация результативного признака Y на 41,6% объясняется изменением факторов X1 и X2. Остальные 58,4% вариации объясняются изменением факторов, которые в модели не рассматриваются.
Множественный коэффициент регрессии:
.
Сила связи результата с факторными признаками заметная, т.к. коэффициент регрессии находится в пределах от 0,5 до 0,8.
Вычислим частные коэффициенты корреляции:
;
.
Значения частных коэффициентов корреляции показывают, что при исключении из рассмотрения фактора X2 (т.е. при его постоянном и неизменном воздействии) связь результата Y с фактором X1 весьма теснее; связь результата Y с фактором X2 при исключении фактора X1 также теснее .
5. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. При использовании вкладки «Регрессия» были получены следующие результаты:
Таблица 2.4.
t-критерий Стьюдента
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
19,17824147
0,285736861
67,11854185
X1
0,001306941
0,002552432
0,512037659
X2
0,009953549
0,001965175
5,06496892
По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и (m = 2 – количество факторных признаков в модели) степеням свободы находим критическую точку:
.
Расчетные значения t-статистик , и больше критического значения, следовательно, коэффициенты и статистически значимы, а меньше, следовательно коэффициент статистически незначим.
Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение F-статистики:
,
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы и получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, т.к. 16,74 > 3,21. Поэтому делаем вывод о том, что в 95% случаев зависимость дивидендов от дебиторской задолженности и курсовой цены акции значима. Уравнение множественной линейной регрессии качественно и адекватно характеризует взаимосвязь рассматриваемых признаков.
Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
РЕШЕНИЕ
Вариант 82
y15
y21
y33
y2
y3
x1
x2
x3
y15
b21
b31
a11
a31
y1
y3
x1
x2
x3
y21
b12
b32
a32
y1
y2
x1
x2
x3
y33
b13
a13
a33
Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:
Структурная форма модели:
В этой системе y1, y1, y3 - эндогенные переменные (K=3);
x1, x2, x3 - предопределенные переменные (M=3).
K-1=2; K+M=5.
Составим приведенную форму модели:
Проверим, как выполняется необходимое условие идентификации для каждого уравнения.
Для 1-ого уравнения имеем: k1=2; m1=2;
M-m1=1 = k1-1=1, следовательно, 1-ое уравнение точно идентифицированно.
Для 2-ого уравнения имеем: k2=2; m2=1;
M-m2=0 < k2-1=1, следовательно, 2-ое уравнение неидентифицированно.
Для 3-его уравнения имеем: k3=1; m3=2;
M-m3=1 > k3-1=0, следовательно, 3-е уравнение сверхидентифицированно.
Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).
Алгоритм КМНК включает 3 шага:
1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;
3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.
Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
РЕШЕНИЕ
Согласно варианту №82 требуется выбрать признак №5 (среднегодовая стоимость оборотных средств, млн.руб.) и наблюдения №№ 2 – 13 (табл. 4.1.)
Таблица 4.1.
Исходные данные
Год
2002
2003
2004
2005
Квартал
I
II
III
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
хt
685
837
1161
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
1310
1372
Построим коррелограмму, воспользовавшись функцией MS Excel КОРРЕЛ().
Таблица 4.2.
Коррелограмма
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
хt
837
1161
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
1310
1372
rt,t-1=0,013
xt-1
 
685
837
1161
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
1310
хt
 
 
1161
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
1310
1372
rt,t-2=-0,492
хt-2
 
 
685
837
1161
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
хt
 
 
 
1151
822
1383
884
1309
1028
1771
1310