4 задания по эконометрике, вариант 85

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып ...

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 85
y15
y22
y32

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Исходные данные
Год 2003 2004 2005
Квартал I II III IV I II III IV I II III IV
хt 1095 986 822 1137 1301 1038 780 1435 1593 1658 1363 173

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып олнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 85
y15
y22
y32

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Исходные данные
Год 2003 2004 2005
Квартал I II III IV I II III IV I II III IV
хt 1095 986 822 1137 1301 1038 780 1435 1593 1658 1363 173

1498
20,56
20,30
0,26
0,07
52376,9
0,12
70
1672
20,42
20,36
0,06
0,00
162296,2
0,04
71
484
19,73
19,93
-0,20
0,04
616444,8
0,24
72
1060
19,42
20,14
-0,72
0,52
43739,54
0,64
73
1612
20,17
20,34
-0,17
0,03
117553
0,00
74
1120
19,87
20,16
-0,29
0,09
22242,74
0,12
75
947
20,26
20,10
0,16
0,03
103774,2
0,00
76
1102
20,04
20,16
-0,12
0,01
27935,78
0,03
77
1302
20,34
20,23
0,11
0,01
1079,78
0,02
78
1477
20,63
20,29
0,34
0,11
43205,78
0,17
79
820
20,32
20,05
0,27
0,07
201726,7
0,01
80
1231
20,06
20,20
-0,14
0,02
1454,66
0,02
81
1311
20,04
20,23
-0,19
0,04
1752,26
0,03
82
1843
20,62
20,43
0,19
0,04
329315,3
0,16
83
1215
20,53
20,20
0,33
0,11
2931,14
0,10
84
1284
20,18
20,22
-0,04
0,00
220,8196
0,00
85
1336
20,4
20,24
0,16
0,03
4470,26
0,03
86
1412
20,26
20,27
-0,01
0,00
20408,98
0,00
87
1447
19,79
20,28
-0,49
0,24
31634,18
0,18
88
1593
20,33
20,33
0,00
0,00
104885,3
0,01
89
1663
20,24
20,36
-0,12
0,01
155125,7
0,00
90
1114
19,83
20,16
-0,33
0,11
24068,42
0,15
91
863
19,97
20,07
-0,10
0,01
164949,7
0,06
92
932
20,1
20,09
0,01
0,00
113663,4
0,01
Сумма
63457
1010,86
1010,86
-
3,38
3507696,02
3,84
Среднее
1269,1
20,2
20,2
 
 
 
 
Остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия:
.
Общая (полная) дисперсия результативного признака:
.
Значение коэффициента детерминации в случае парной линейной регрессии можно вычислить как квадрат коэффициента корреляции:
.
В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом:
.
Как видим, значения коэффициентов детерминации совпадают, что подтверждает правильность расчетов.
Коэффициент детерминации показывает, что 12,0% вариации результативного признака (выплаченные дивиденды) объясняется изменением признака-фактора (собственных оборотных средств). Остальные 82% вариации складываются под воздействием иных причин, не рассматриваемых в модели.
3. Оценим качество уравнения с помощью F-критерия Фишера.
F-критерий Фишера заключается в следующем:
Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент детерминации равен 0, и уравнение регрессии статистически малозначимо и ненадежно. Альтернативная ей гипотеза будет заключаться в том, что коэффициент детерминации отличен от 0, т.е. связь между X и Y статистически значима, и уравнение регрессии качественно описывает эту взаимосвязь.
Вычисляется наблюдаемое значение критерия по формуле
.
Находим: .
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы , получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, а значит, нулевая гипотеза H0 о случайной природе полученного уравнения регрессии отвергается в пользу гипотезы H1, свидетельствующей в 95% случаев о его статистической значимости и существенности зависимости размера начисленных дивидендов от объема собственных оборотных средств.
4. Выполним прогноз.Определим значение фактора X, которое составит 1,05 от среднего значения:
(млн. руб.)
Тогда находим прогнозное значение Y:
(млн. руб.)
Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле
.
(млн.руб.)
(млн.руб.)
При доверительной вероятности 95% t=1.96. Определим доверительный интервал прогноза:
Относительная погрешность: .
Вывод: если размер собственных оборотных средств предприятия составит 1332,60 млн. руб., выплаченные дивиденды с вероятностью 95% будут находиться в пределах от 19,71 до 20,77 млн. руб. Отметим, что погрешность прогноза составила 2,6%, т.е. точность прогноза высокая.
Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.
Решение
1. Добавим в рассмотрение еще один признак – балансовую прибыль предприятия.
Таблица 2.1.
Исходные данные
№
Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб. (Y)
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
43
20,65
1178
120
44
20,19
1304
105
45
20,24
1308
114
46
20,27
1416
107
47
20,69
1185
115
48
19,85
1220
96
49
19,87
1311
104
50
20,2
1288
108
51
20,33
918
102
52
20,2
809
102
53
20,46
1188
120
54
20,17
1394
106
55
20,62
1435
114
56
19,79
1514
112
57
20,34
1577
112
58
20,51
1579
122
59
20,04
1210
122
60
20,39
1448
108
61
20,27
1468
114
62
20,06
1661
113
63
20,39
989
108
64
19,94
1007
102
65
19,95
1030
112
66
20,23
1099
113
67
20,49
1197
110
68
20,61
1386
107
69
20,56
1498
117
70
20,42
1672
120
71
19,73
484
93
72
19,42
1060
89
73
20,17
1612
118
74
19,87
1120
103
75
20,26
947
98
76
20,04
1102
95
77
20,34
1302
106
78
20,63
1477
123
79
20,32
820
110
80
20,06
1231
104
81
20,04
1311
103
82
20,62
1843
122
83
20,53
1215
114
84
20,18
1284
112
85
20,4
1336
115
86
20,26
1412
109
87
19,79
1447
108
88
20,33
1593
114
89
20,24
1663
107
90
19,83
1114
98
91
19,97
863
104
92
20,1
932
107
Сумма
1010,86
63457
5457
Составим матрицу парных коэффициентов корреляции. Для этого воспользуемся специальной функцией MS Excel: Сервис  Анализ данных  Корреляция (рис. 2.1.)
Рис. 2.1. Диалоговое окно «Корреляция»
Получим следующую таблицу (табл. 2.2):
Таблица 2.2.
Матрица парных коэффициентов корреляции
 
Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб. (Y)
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб. (Y)
1
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
0,346
1
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
0,672
0,572
1
Наиболее тесно связаны результативный признак Y (дивиденды начисленные) и признак-фактор X2 (балансовая прибыль), т.к. соответствующий коэффициент корреляции имеет наибольшее значение. Связь между дивидендами начисленными и величиной собственных оборотных средств немного меньше. Связь начисленных дивидендов с обоими признаками прямая, т.е. увеличению факторов соответствует рост результативного признака; по силе связь начисленных дивидендов и собственных оборотных средств средняя, начисленных дивидендов и балансовой прибыли – заметная.
Уравнение множественной регрессии будем искать в виде
.
Выбираем Сервис  Анализ данных  Регрессия (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Диалоговое окно «Регрессия»
Рис. 2.3. Вывод итогов
Получаем следующее уравнение:
.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении собственных оборотных средств предприятия на 1 млн. руб., начисленные дивиденды сокращаются в среднем на 5,8·10-5 млн. руб., при условии, что балансовая прибыль предприятия не изменяется.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении балансовой прибыли предприятия на 1 млн. руб., начисленные дивиденды увеличивается в среднем на 0,0248 млн. руб., при условии, что собственные оборотные средства предприятия остаются неизменными.
2. Для дальнейшего анализа понадобятся средние значения признаков, а также их средние квадратические отклонения.
Сервис  Анализ данных  Описательная статистика
Рис. 2.3. Диалоговое окно «Описательная статистика»
Получаем следующие результаты (табл. 2.3.):
Таблица 2.3.
Средние значения и средние квадратические отклонения
Y
 
X1
 
X2
 
Среднее
20,22
Среднее
1269,14
Среднее
109,14
Стандартное отклонение
0,04
Стандартное отклонение
37,84
Стандартное отклонение
1,12
Вычислим коэффициенты эластичности:
;
.
Коэффициенты эластичности оценивают влияние факторов на результат: при увеличении собственных оборотных средств предприятия на 1% от своего среднего значения, начисленные дивиденды сокращаются на 0,00365% от своего среднего значения; при увеличении балансовой прибыли предприятия на 1% от своего среднего значения, начисленные дивиденды предприятия увеличиваются на 0,134% от своего среднего значения.
3. Выполним расчет -коэффициентов, т.е. построим уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где , , - стандартизованные переменные.
.
Получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
.
Коэффициенты регрессии, эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии, соответствующие фактору X1 (собственные оборотные средства) отрицательные и имеют небольшое значение по модулю; аналогичные показатели, соответствующие фактору X2 (балансовой прибыли), имеют положительные значения и их величины существенны. Заметим также, что парный коэффициент корреляции между факторами X1 и X2, равный 0,572 больше, чем коэффициенты корреляции . Это говорит о наличии мультиколлинеарности в модели. Получается что, факторный признак X1 (собственные оборотные средства) влияет на величину фактора X2 (балансовая прибыль), а фактор X2 влияет на величину Y (начисленные дивиденды). Между Y и X1 должна быть прямая зависимость, т.к. во-первых, коэффициент корреляции имеет положительное значение, а во-вторых, очевидно, что чем больше собственные оборотные средства предприятия, тем больше должна быть величина начисленных дивидендов акции. Однако, коэффициент регрессии имеет отрицательное значение, т.е. влияние фактора X1 осуществляется как бы через фактор X2.
4. Парные коэффициенты корреляции были определены в п. 1:
; ; .
Вычислим множественный коэффициент детерминации:
.
Множественный коэффициент детерминации показывает, что вариация результативного признака Y на 45,3% объясняется изменением факторов X1 и X2. Остальные 54,7% вариации объясняются изменением факторов, которые в модели не рассматриваются.
Множественный коэффициент регрессии:
.
Сила связи результата с факторными признаками заметная, т.к. коэффициент регрессии находится в пределах от 0,5 до 0,7.
Вычислим частные коэффициенты корреляции:
;
.
Значения частных коэффициентов корреляции показывают, что при исключении из рассмотрения фактора X1 (т.е. при его постоянном и неизменном воздействии) связь результата Y с фактором X2 больше, чем связь результата Y с фактором X1 при исключении фактора X2.
5. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. При использовании вкладки «Регрессия» были получены следующие результаты:
Таблица 2.4.
t-критерий Стьюдента
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
17,58308
0,431906
40,71042
X1
-5,8E-05
0,000138
-0,42237
X2
0,024811
0,004638
5,349758
По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и (m = 2 – количество факторных признаков в модели) степеням свободы находим критическую точку:
.
Расчетные значения t-статистик и больше критического значения, следовательно, коэффициенты и статистически значимы. Значение по модулю меньше критического значения, следовательно, коэффициент является статистически малозначимым. Рекомендуется исключить его из рассмотрения и анализировать зависимость результата Y только от фактора X2.
Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение F-статистики:
,
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы и получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, т.к. 19,47 > 3,21. Поэтому делаем вывод о том, что в 95% случаев зависимость начисленных дивидендов от объема собственных оборотных средств и балансовой прибыли предприятия существенна. Уравнение множественной линейной регрессии качественно и адекватно характеризует взаимосвязь рассматриваемых признаков.
Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
РЕШЕНИЕ
Вариант 85
y15
y22
y32
y2
y3
x1
x2
x3
y15
b21
b31
a11
a31
y1
y3
x1
x2
x3
y22
b12
a12
a22
y1
y2
x1
x2
x3
y32
b13
a23
a33
Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:
Структурная форма модели:
В данной модели 3 эндогенные переменные (Y1 , Y2 , Y3) и 3 экзогенные переменные (X1, X2 и X3).
Н – число эндогенных переменных в уравнении;
D – число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении.
Уравнение 1: H = 2; D = 2. Т.к. H < D + 1, то уравнение точно идентифицировано.
Уравнение 2: H = 1; D = 2. Т.к. H < D + 1, то уравнение точно идентифицировано.
Уравнение 3: H = 1; D = 2. Т.к. H < D + 1, то уравнение точно идентифицировано.
Т.к. в системе все уравнения точно идентифицированы, то и вся система точно идентифицирована.
Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).
Алгоритм КМНК включает 3 шага:
1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;
3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.
Приведенная форма модели имеет вид:
Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
РЕШЕНИЕ
Согласно варианту №85 требуется выбрать признак №1 (Объем производства продукции, млн. руб.) и наблюдения №№ 5 – 16 (табл. 4.1.)
Таблица 4.1.
Исходные данные
Год
2003
2004
2005
Квартал
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
хt
1095
986
822
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
1363
1737
Построим коррелограмму, воспользовавшись функцией MS Excel КОРРЕЛ().
Таблица 4.2.
Коррелограмма
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 
хt
 
986
822
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
1363
1737
rt,t-1=-0,521
xt-1
 
1095
986
822
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
1363
хt
 
 
822
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
1363
1737
rt,t-2=0,229
хt-2
 
 
1095
986
822
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
хt
 
 
 
1137
1301
1038
780
1435
1593
1658
1363