Эконометрика, вариант 9

Задание 1
1. Постройте корреляционное поле и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Оцените параметры уравнений линейной, степенной, обратной, экспоненциальной, логарифмической, парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи при помощи коэффициента корреляции, индекса корреляции, коэффициента детерминации.
4. Используя средний (общий) коэффициент эластичности, дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените при помощи средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность оценок коэффициентов регрессии.
7. С помощью F-критерия Фишера-Снедекора оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования, выберите наилучшее уравнение регрессии по значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 ...

Задание 1
1. Постройте корреляционное поле и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Оцените параметры уравнений линейной, степенной, обратной, экспоненциальной, логарифмической, парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи при помощи коэффициента корреляции, индекса корреляции, коэффициента детерминации.
4. Используя средний (общий) коэффициент эластичности, дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените при помощи средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность оценок коэффициентов регрессии.
7. С помощью F-критерия Фишера-Снедекора оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования, выберите наилучшее уравнение регрессии по значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5.
8. Рассчитайте значение статистики DW (Дарбина-Уотсона) и сделайте вывод о наличии автокорреляции в ряду остатков.
9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.
10. Полученные результаты и выводы оформите в аналитической записке.
Вариант 9. Изучается зависимость потребительских расходов на душу населения у (тыс. руб.) от денежных доходов на душу населения х (тыс. руб.) по данным 20ХХ г.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У 409 452 367 328 460 380 439 344 401 514
X 540 682 537 589 626 521 626 521 658 746

Задание 2
Выберите в таблице, начиная с номера Вашего варианта, 20 последовательных значений индекса человеческого развития (показатель Y) , соответствующих им значений ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2008 г. (фактор X1 и суточной калорийности питания населения (фактор X2).
1. Постройте двухфакторные регрессионные модели Y = а0 + а1X1 + а2X2 и lnY = b0 + b1lnX1 + + b2lnX2.
2. Оцените статистическую значимость уравнений регрессии и их параметров при помощи F-критерия Фишера-Снедекора, частных F-критериев и t-критерия Стьюдента.
3. Постройте графики остатков, проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольдфельдта-Квандта.
4. Постройте парные уравнения регрессии и оцените статистическую значимость уравнений и их параметров при помощи критериев Фишера-Снедекора и Стьюдента. Какое из уравнений лучше использовать для прогноза?
5. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
6. На основе линейного уравнения множественной регрессии постройте частные уравнения регрессии, рассчитайте частные коэффициенты эластичности и охарактеризуйте изолированное влияние каждого из факторов на результирующую переменную (в случае, когда другие факторы закреплены на среднем уровне).
7. Рассчитайте коэффициент детерминации и скорректированный индекс множественной корреляции. Охарактеризуйте тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком.
8. Рассчитайте частные коэффициенты корреляции и охарактеризуйте тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии.
No Страна Индекс человеческого развития Y Ожидаемая продолжительность жизни X1 при рождении в 2010 г., лет Суточная калорийность питания населения Х2, ккал на душу
9 Германия 0,906 77,2 3330
10 Греция 0,867 78,1 3575
11 Дания 0,905 75,7 3808
12 Египет 0,616 66,3 3289
13 Израиль 0,883 77,8 3272
14 Индия 0,545 62,6 2415
15 Испания 0,894 78,0 3295
16 Италия 0,900 78,2 3504
17 Канада 0,932 79,0 3056
18 Казахстан 0,740 67,7 3007
19 Китай 0,701 69,8 2844
20 Латвия 0,744 68,4 2861
21 Нидерланды 0,921 77,9 3259
22 Норвегия 0,927 78,1 3350
23 Польша 0,802 72,5 3344
24 Республика Корея 0,852 72,4 3336
25 Россия 0,747 66,6 2704
26 Румыния 0,752 69,9 2943
27 США 0,927 76,6 3642
28 Турция 0,728 69,0 3568

Задание 3
1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое уравнение приведённой модели одновременных уравнений.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите приведённую форму модели
Вариант 9
Макроэкономическая модель:
Ct = b1 +b2St+b3Pt,
St = a1 + a2Rt + a3R t - 1+ a4t,
R t=St + Pt
где: С - личное потребление;
S - зарплата;
P - прибыль;
R общий доход.

Задание 4
В таблице приведены данные об уровне производительности труда (выпуск продукции в среднем за 1 час, % к уровню 1982 г.) по экономике США (X) и среднечасовой заработной плате в экономике США (Y) в сопоставимых ценах 1982 г., долл., в 1960-1989 гг. Выберите в таблице, начиная с номера Вашего варианта, 20 последовательных значений показателя Y и соответствующего ему значения фактора X.
1. Постройте графики временных рядов X и Y.
2. Постройте автокорреляционную функцию каждого временного ряда и охарактеризуйте его структуру.
3. Проверьте каждый ряд на наличие тренда, проведите сглаживание при помощи простой скользящей средней.
4. Для каждого ряда постройте линейный и нелинейные (степенной, показательный, логарифмический, гиперболический) тренды и среди них выберите наилучший.
5. Определите коэффициент корреляции между изучаемыми рядами по отклонениям от трендов. Выполните прогноз уровней одного ряда исходя из его связи с уровнями другого ряда.
t X Y
9 85,4 7,89
10 85,9 7,98
11 87 8,03
12 90,2 8,21
13 92,6 8,53
14 95 8,55
15 93,3 8,28
16 95,5 8,12
17 98,3 8,24
18 99,8 8,36
19 100,4 8,4
20 99,3 8,17
21 98,6 7,78
22 99,9 7,69
23 100 7,68
24 102,2 7,79
25 104,6 7,8
26 106,1 7,77
27 108,3 7,81
28 109,4 7,7

Задание 1
1. Постройте корреляционное поле и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Оцените параметры уравнений линейной, степенной, обратной, экспоненциальной, логарифмической, парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи при помощи коэффициента корреляции, индекса корреляции, коэффициента детерминации.
4. Используя средний (общий) коэффициент эластичности, дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените при помощи средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность оценок коэффициентов регрессии.
7. С помощью F-критерия Фишера-Снедекора оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования, выберите наилучшее уравнение регрессии по значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 .
8. Рассчитайте значение статистики DW (Дарбина-Уотсона) и сделайте вывод о наличии автокорреляции в ряду остатков.
9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.
10. Полученные результаты и выводы оформите в аналитической записке.
Вариант 9. Изучается зависимость потребительских расходов на душу населения у (тыс. руб.) от денежных доходов на душу населения х (тыс. руб.) по данным 20ХХ г.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У 409 452 367 328 460 380 439 344 401 514
X 540 682 537 589 626 521 626 521 658 746

Задание 2
Выберите в таблице, начиная с номера Вашего варианта, 20 последовательных значений индекса человеческого развития (показатель Y) , соответствующих им значений ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2008 г. (фактор X1 и суточной калорийности питания населения (фактор X2).
1. Постройте двухфакторные регрессионные модели Y = а0 + а1X1 + а2X2 и lnY = b0 + b1lnX1 + + b2lnX2.
2. Оцените статистическую значимость уравнений регрессии и их параметров при помощи F-критерия Фишера-Снедекора, частных F-критериев и t-критерия Стьюдента.
3. Постройте графики остатков, проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольдфельдта-Квандта.
4. Постройте парные уравнения регрессии и оцените статистическую значимость уравнений и их параметров при помощи критериев Фишера-Снедекора и Стьюдента. Какое из уравнений лучше использовать для прогноза?
5. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
6. На основе линейного уравнения множественной регрессии постройте частные уравнения регрессии, рассчитайте частные коэффициенты эластичности и охарактеризуйте изолированное влияние каждого из факторов на результирующую переменную (в случае, когда другие факторы закреплены на среднем уровне).
7. Рассчитайте коэффициент детерминации и скорректированный индекс множественной корреляции. Охарактеризуйте тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком.
8. Рассчитайте частные коэффициенты корреляции и охарактеризуйте тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии.
No Страна Индекс человеческого развития Y Ожидаемая продолжительность жизни X1 при рождении в 2010 г., лет Суточная калорийность питания населения Х2, ккал на душу
9 Германия 0,906 77,2 3330
10 Греция 0,867 78,1 3575
11 Дания 0,905 75,7 3808
12 Египет 0,616 66,3 3289
13 Израиль 0,883 77,8 3272
14 Индия 0,545 62,6 2415
15 Испания 0,894 78,0 3295
16 Италия 0,900 78,2 3504
17 Канада 0,932 79,0 3056
18 Казахстан 0,740 67,7 3007
19 Китай 0,701 69,8 2844
20 Латвия 0,744 68,4 2861
21 Нидерланды 0,921 77,9 3259
22 Норвегия 0,927 78,1 3350
23 Польша 0,802 72,5 3344
24 Республика Корея 0,852 72,4 3336
25 Россия 0,747 66,6 2704
26 Румыния 0,752 69,9 2943
27 США 0,927 76,6 3642
28 Турция 0,728 69,0 3568

Задание 3
1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое уравнение приведённой модели одновременных уравнений.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите приведённую форму модели
Вариант 9
Макроэкономическая модель:
Ct = b1 +b2St+b3Pt,
St = a1 + a2Rt + a3R t - 1+ a4t,
R t=St + Pt
где: С - личное потребление;
S - зарплата;
P - прибыль;
R общий доход.

Задание 4
В таблице приведены данные об уровне производительности труда (выпуск продукции в среднем за 1 час, % к уровню 1982 г.) по экономике США (X) и среднечасовой заработной плате в экономике США (Y) в сопоставимых ценах 1982 г., долл., в 1960-1989 гг. Выберите в таблице, начиная с номера Вашего варианта, 20 последовательных значений показателя Y и соответствующего ему значения фактора X.
1. Постройте графики временных рядов X и Y.
2. Постройте автокорреляционную функцию каждого временного ряда и охарактеризуйте его структуру.
3. Проверьте каждый ряд на наличие тренда, проведите сглаживание при помощи простой скользящей средней.
4. Для каждого ряда постройте линейный и нелинейные (степенной, показательный, логарифмический, гиперболический) тренды и среди них выберите наилучший.
5. Определите коэффициент корреляции между изучаемыми рядами по отклонениям от трендов. Выполните прогноз уровней одного ряда исходя из его связи с уровнями другого ряда.
t X Y
9 85,4 7,89
10 85,9 7,98
11 87 8,03
12 90,2 8,21
13 92,6 8,53
14 95 8,55
15 93,3 8,28
16 95,5 8,12
17 98,3 8,24
18 99,8 8,36
19 100,4 8,4
20 99,3 8,17
21 98,6 7,78
22 99,9 7,69
23 100 7,68
24 102,2 7,79
25 104,6 7,8
26 106,1 7,77
27 108,3 7,81
28 109,4 7,7

Степенная регрессия.Тогда .Фактическое значение t-статистики превосходит табличное значение: поэтому гипотеза H0 отвергается, т.е. параметр b не случайно отличается от нуля, и статистически значим.Экспоненциальная регрессия.Тогда .Фактическое значение t-статистики превосходит табличное значение: поэтому гипотеза H0 принимается, т.е. параметр b не отличается от нуля, и статистически незначим.Полулогарифмическая регрессия.Тогда .Фактическое значение t-статистики превосходит табличное значение: поэтому гипотеза H0 отвергается, т.е. параметр b не случайно отличается от нуля, и статистически значим.Обратная регрессия.Тогда .Фактическое значение t-статистики превосходит табличное значение: поэтому гипотеза H0 принимается, т.е. параметр b не отличается от нуля, и статистически незначим.Гиперболическая регрессия.Тогда .Фактическое значение t-статистики превосходит табличное значение: поэтому гипотеза H0 отвергается, т.е. параметр b не случайно отличается от нуля, и статистически значим.7. Оценим с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберем лучшее уравнение регрессии и дадим его обоснование. Линейная регрессия. где уравнение статистически значимо. QUOTE QUOTE Степенная регрессия. где уравнение статистически значимо.Экспоненциальная регрессия. где уравнение статистически значимо.Полулогарифмическая регрессия. где уравнение статистически значимо.Гиперболическая регрессия. где уравнение статистически значимо.Обратная регрессия. где уравнение статистически значимо.Вид регрессииУравнение регрессииКоэффициент эластичностиОшибка аппроксимацииF-критерийЛинейнаяy= 48,79+0,596 · x0,8816,8613,56Степенная0,8586,8814,16Обратная0,8646,7614,60Полулогарифмическаяy=361,84Lnx-1905,480,8786,9612,67Гиперболическая0,8217,0611,70Экспоненциальнаяy=172,86·e0,00141x0,8526,7414,16Наименьшее значение ошибки и наибольшее значение критерия Фишера имеет обратная модель, это значит, что она имеет самую большую силу связи между фактором и результатом и уравнение более статистически значимо чем остальные, значит ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.8.Рассчитаем значение статистики DW (Дарбина-Уотсона) и сделаем вывод о наличии автокорреляции в ряду остатков. Определим статистику Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции первого порядка. Для расчетов используем таблицу:№ п/пyYтеорY-Yтеор (ei)ei-1eiei-1ei2ei-12(ei-ei-1)21409369,839,1955001536,29002452449,52,5179639,195598,69286,340131536,299740,26053367368,4-1,42472,51796-3,58742,029856,3401312,8694964328393,9-65,899-1,424793,8884342,662,029858814,94855460414,345,7192-65,899-3012,82090,254342,669077241,86380361,218,763545,7192857,854352,072090,25735913,257439414,324,719218,7635463,82611,04352,07215128,818344361,2-17,23624,7192-426,07297,096611,04181537,549401433,7-32,689-17,236563,4431068,57297,096317468,5310514497,816,1751-32,689-528,75261,6351068,57279576,1Итого40944094013,6663-1893,69031,6910306,310825434Коэффициент автокорреляции равенСтатистика Дарбина-Уотсона:Остатки не являются автокоррелированными, т.е. гипотеза об их цикличности не подтверждена статистически, и отклонение остатков от теоретической линии имеет случайный характер.9. Рассчитаем прогнозное значение результата, если значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05. Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения где QUOTE Средняя стандартная ошибка прогноза : QUOTE где = QUOTE Предельная ошибка прогноза:Доверительный интервал прогнозаПрогноз надежный, но не очень точный, т. к.= QUOTE Аналитическая записка.Таким образом, в результате исследования можно сделать следующие выводы.Сформирована эконометрическая модель в виде обратной модели уравнения парной регрессии, связывающая величину потребительских расходов в расчёте на душу населения y с величиной денежных доходов на душу населения x.На основании анализа численного значения коэффициента корреляции rxy = 0,793 установлена весьма сильная, прямая статистическая связь между величиной x и величиной y. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 37,1%.Путем расчета коэффициента эластичности показано, что при изменении величины денежных доходов на душу населения на 1% величина потребительских расходов в расчёте на душу населения изменяется на 0,864%.Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных обратной модели уравнением парной регрессии, которая составила 6,76%, что характеризует модель как достаточно точную.С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимым и адекватно описывает изучаемое явление связи y с x.Значение прогноза в точке =665,06 равняется 438,2. Доверительный интервал для прогноза является .Задание 2 Выберите в таблице, начиная с номера Вашего варианта, 20 последовательных значений индекса человеческого развития (показатель Y) , соответствующих им значений ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2008 г. (фактор X1 и суточной калорийности питания населения (фактор X2).1. Постройте двухфакторные регрессионные модели Y = а0 + а1X1 + а2X2 и lnY = b0 + b1lnX1 + + b2lnX2.2. Оцените статистическую значимость уравнений регрессии и их параметров при помощи F-критерия Фишера-Снедекора, частных F-критериев и t-критерия Стьюдента. 3. Постройте графики остатков, проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольдфельдта-Квандта. 4. Постройте парные уравнения регрессии и оцените статистическую значимость уравнений и их параметров при помощи критериев Фишера-Снедекора и Стьюдента. Какое из уравнений лучше использовать для прогноза? 5. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, проявляется ли в модели мультиколлинеарность. 6. На основе линейного уравнения множественной регрессии постройте частные уравнения регрессии, рассчитайте частные коэффициенты эластичности и охарактеризуйте изолированное влияние каждого из факторов на результирующую переменную (в случае, когда другие факторы закреплены на среднем уровне). 7. Рассчитайте коэффициент детерминации и скорректированный индекс множественной корреляции. Охарактеризуйте тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком. 8. Рассчитайте частные коэффициенты корреляции и охарактеризуйте тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии. NoСтранаИндекс человеческого развития Y Ожидаемая продолжительность жизни X1 при рождении в 2010 г., лет Суточная калорийность питания населения Х2, ккал на душу9Германия0,90677,2333010Греция0,86778,1357511Дания0,90575,7380812Египет0,61666,3328913Израиль0,88377,8327214Индия0,54562,6241515Испания0,89478,0329516Италия0,90078,2350417Канада0,93279,0305618Казахстан0,74067,7300719Китай0,70169,8284420Латвия0,74468,4286121Нидерланды0,92177,9325922Норвегия0,92778,1335023Польша0,80272,5334424Республика Корея0,85272,4333625Россия0,74766,6270426Румыния0,75269,9294327США0,92776,6364228Турция0,72869,03568Решение:1.Построим двухфакторные регрессионные модели Y = а0 + а1X1 + а2X2 и lnY = b0 + b1lnX1 + + b2lnX2.Для определения неизвестных параметров а0 , а1 , а2 уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин Σ x12 , Σ x22 , Σ x1y , Σ x2y , Σ x1 x2 . Эти значения определяем из таблицы, дополняя ее соответствующими колонками.Странаух1х2х1ух2ух1х2х12x22100,90677,2333069,94323016,982570765959,8411088900110,86778,1357567,71273099,532792086099,6112780625120,90575,7380868,50853446,242882665730,4914500864130,61666,3328940,84082026,022180614395,6910817521140,88377,8327268,69742889,182545626052,8410705984150,54562,6241534,1171316,181511793918,765832225160,89478329569,7322945,73257010608410857025170,978,2350470,383153,62740136115,2412278016180,93279305673,6282848,1924142462419339136190,7467,7300750,0982225,182035744583,299042049200,70169,8284448,92981993,641985114872,048088336210,74468,4286150,88962128,581956924678,568185321220,92177,9325971,74593001,542538766068,4110621081230,92778,1335072,39873105,452616356099,6111222500240,80272,5334458,1452681,892424405256,2511182336250,85272,4333661,68482842,272415265241,7611128896260,74766,6270449,75022019,891800864435,567311616270,75269,9294352,56482213,142057164886,018661249280,92776,6364271,00823376,132789775867,5613264164290,72869356850,2322597,5246192476112730624Итого16,2891461,8644021201,0152926,94729024107348209638468Результаты компьютерной обработки: Имеем:Тогда окончательно зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2010 г и суточной калорийности питания населения в виде линейного уравнения множественной регрессии имеет вид:Из полученного эконометрического уравнения видно, что с увеличением ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2010 и суточной калорийности питания населения индекс человеческого развития увеличивается. При увеличении ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2010 на 1 ш индекс человеческого развития вырастет на 0,02, а при увлечении суточной калорийности питания населения на одну ккал/душу индекс человеческого развития вырастет на 1,66*10-5.Для определения неизвестных параметров а0 , а1 , а2 уравнения множественной логарифмической регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:Где X1=lnx1 , X2=lnx2, Y=ln y. Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин Σ x12 , Σ x22 , Σ x1y , Σ x2y , Σ x1 x2 . Эти значения определяем из таблицы, дополняя ее соответствующими колонками.СтранаYX1X2X1YX2YX1X2X12X2210-0,0994,3468,111-0,429-0,80135,25218,89165,78411-0,1434,3588,182-0,622-1,16835,65618,99266,94112-0,1004,3278,245-0,432-0,82335,67418,72167,97813-0,4854,1948,098-2,032-3,92433,96617,59165,58314-0,1244,3548,093-0,542-1,00735,23918,95965,49915-0,6074,1377,789-2,511-4,72832,22317,11360,67616-0,1124,3578,100-0,488-0,90835,29018,98165,61317-0,1054,3598,162-0,459-0,86035,57919,00366,61318-0,0704,3698,025-0,308-0,56535,06419,09264,39819-0,3014,2158,009-1,269-2,41133,75717,76764,13920-0,3554,2467,953-1,508-2,82533,76518,02563,25021-0,2964,2257,959-1,250-2,35433,62917,85463,34522-0,0824,3558,089-0,358-0,66635,23218,97065,43523-0,0764,3588,117-0,330-0,61535,37318,99265,88124-0,2214,2848,115-0,945-1,79134,76118,34965,85225-0,1604,2828,113-0,686-1,29934,74018,33765,81326-0,2924,1997,902-1,225-2,30533,18017,62962,44927-0,2854,2477,987-1,210-2,27633,92218,03863,79528-0,0764,3398,200-0,329-0,62235,57818,82367,24529-0,3174,2348,180-1,344-2,59734,63417,92866,908Итого-4,30685,785161,429-18,278-34,544692,514368,0551303,196 Результаты компьютерной обработки:Имеем:Тогда окончательно зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни при рождении в 2010 г и суточной калорийности питания населения в виде логарифмического уравнения множественной регрессии имеет вид:2. Оценим статистическую значимость уравнений регрессии и их параметров при помощи F-критерия Фишера-Снедекора, частных F-критериев и t-критерия Стьюдента. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. При использовании вкладки «Регрессия» были получены следующие результаты:t-критерий СтьюдентаКоэффициентыСтандартная ошибкаt-статистикаY-пересечение-0,6992398880,123872736-5,644824763X10,0199779950,0022205738,996775125X21,66138E-053,3197E-050,500462609По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и (m = 2 – количество факторных признаков в модели) степеням свободы находим критическую точку:.Расчетные значения t-статистик , и больше критического значения, следовательно, коэффициенты и статистически значимы, а меньше, следовательно коэффициент статистически незначим.Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F-критерия Фишера.Фактическое значение F-статистики:, где R2 получен при использовании вкладки «Регрессия».По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы и получаем . Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, т.к. 74,9 > 3,59. Поэтому делаем вывод о том, что в 95% случаев зависимость значима. Уравнение множественной линейной регрессии качественно и адекватно характеризует взаимосвязь рассматриваемых признаков. Частный F-криетрий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора x1 в модель после того, как в нее включен фактор х2. Частный F-критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора к остаточной дисперсии, подсчитанной по модели с включенными факторами..Результаты дисперсионного анализа представлены в таблице.Вариация результата, УЧисло степеней свободыСумма квадратов отклонений, SДисперсия на одну степень свободы, s2FфактFтабл.Общая190,241045-- Факторная20,21652780,1082675,06933,59В том числе:    - за счет х210,1575380,157540,456614,45- за счет дополнительно включенного х110,05898980,0589976,04024,45Остаточная170,02451720,00144--Включение фактора х1 после х2 оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора х1, так как Fчастн.х1=76,04>Fтабл.=4,45.Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х2 после включенного ранее фактора х1. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи R2yx1x2 и r2yx1..Так как, Fчаст.х2<Fтабл, приходим к выводы, что включение х2 после х1 оказалось бесполезным. Вполне возможно ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии у от х1.Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. При использовании вкладки «Регрессия» были получены следующие результаты:t-критерий СтьюдентаКоэффициентыСтандартная ошибкаt-статистикаY-пересечение-8,8956001810,909178305-9,784219588X11,8703657930,2324456538,046464929X20,0814964960,1496604180,544542749По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и (m = 2 – количество факторных признаков в модели) степеням свободы находим критическую точку:.Расчетные значения t-статистик , и больше критического значения, следовательно, коэффициент статистически значим, а и меньше, следовательно коэффициенты и статистически незначимы.Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F-критерия Фишера.Фактическое значение F-статистики:, где R2 получен при использовании вкладки «Регрессия».По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы и получаем . Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, т.к. 65,24 > 3,59. Поэтому делаем вывод о том, что в 95% случаев зависимость значима. Уравнение множественной линейной регрессии качественно и адекватно характеризует взаимосвязь рассматриваемых признаков. Частный F-криетрий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора x1 в модель после того, как в нее включен фактор х2. Частный F-критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора к остаточной дисперсии, подсчитанной по модели с включенными факторами..Результаты дисперсионного анализа представлены в таблице.Вариация результата, УЧисло степеней свободыСумма квадратов отклонений, SДисперсия на одну степень свободы, s2FфактFтабл.Общая190,4242918-- Факторная20,37538080,18769041765,235573,59В том числе:     - за счет х210,2740950,2740950,41635264,45- за счет дополнительно включенного х110,10128580,10128583462,5492094,45Остаточная170,0489110,002877118--Включение фактора х1 после х2 оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора х1, так как Fчастн.х1=62,55>Fтабл.=4,45.Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х2 после включенного ранее фактора х1. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи R2yx1x2 и r2yx1..Так как, Fчаст.х2<Fтабл, приходим к выводы, что включение х2 после х1 оказалось бесполезным. Вполне возможно ограничиться построением уравнения парной регрессии у от х1.3. Построим графики остатков, провем тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольдфельдта-Квандта. Для дальнейшего исследования выбираем уравнение так как оно более значимо по критерию F-критерия Фишера.При проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков в модели множественной регрессии следует вначале определить, по отношению к какому из факторов дисперсия остатков более всего нарушена. Это можно сделать в результате визуального исследования графиков остатков, построенных по каждому из факторов, включенных в модель. Та из объясняющих переменных, от которой больше зависит дисперсия случайных возмущений, и будет упорядочена по возрастанию фактических значений при проверке теста Гольдфельда–Квандта.Для двухфакторной модели нашего примера графики остатков относительно каждого из двух факторов имеют вид, представленный на рис. (эти графики легко получить в отчете, который формируется в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных).Рис. Графики остатков по каждому из факторов двухфакторной моделиИз графиков на рис. видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору х2.Проверим наличие гомоскедастичности в остатках двухфакторной модели на основе теста Гольдфельда–Квандта.1. Упорядочим переменные Y и по возрастанию фактора (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка – по возрастанию Х2):Данные, отсортированные по возрастанию Х2Странаух1х2150,54562,62415260,74766,62704200,70169,82844210,74468,42861270,75269,92943190,7467,73007180,932793056220,92177,93259140,88377,83272130,61666,33289160,894783295100,90677,23330250,85272,43336240,80272,53344230,92778,13350170,978,23504290,728693568110,86778,13575280,92776,63642120,90575,738082. Уберем из середины упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 20 = 5 значений. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х2.3.