Эконометрика, вариант 83

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып ...

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 83 y15 y21 y34

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Исходные данные
Год 2002 2003 2004 2005
Квартал III IV I II III IV I II III IV I II
хt 87 75 84 63 86 82 78 72 84 102 112 9

Задание № 1. Линейный парный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Вып олнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
Вариант 83 y15 y21 y34

Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
Исходные данные
Год 2002 2003 2004 2005
Квартал III IV I II III IV I II III IV I II
хt 87 75 84 63 86 82 78 72 84 102 112 9

1386
72
47,4
24,6
602,8
8847,3
499,1
69
1498
45
44,8
0,2
0,0
42460,7
21,7
70
1672
35
40,7
-5,7
32,7
144445,6
214,9
71
484
69
68,7
0,3
0,1
652767,0
374,0
72
1060
62
55,1
6,9
47,4
53796,2
152,3
73
1612
36
42,1
-6,1
37,6
102438,4
186,6
74
1120
42
53,7
-11,7
137,0
29563,4
58,7
75
947
52
57,8
-5,8
33,3
118983,6
5,5
76
1102
56
54,1
1,9
3,5
36077,2
40,2
77
1302
66
49,4
16,6
274,8
101,2
267,0
78
1477
32
45,3
-13,3
177,1
34247,2
311,9
79
820
68
60,8
7,2
52,4
222727,4
336,4
80
1231
47
51,1
-4,1
16,8
3713,7
7,1
81
1311
59
49,2
9,8
95,8
363,3
87,2
82
1843
29
36,7
-7,7
59,3
303667,1
426,8
83
1215
36
51,5
-15,5
239,3
5919,8
186,6
84
1284
57
49,8
7,2
51,2
63,0
53,9
85
1336
54
48,6
5,4
28,9
1941,3
18,8
86
1412
60
46,8
13,2
173,3
14414,4
106,9
87
1447
45
46,0
-1,0
1,0
24043,6
21,7
88
1593
54
42,6
11,4
130,4
90637,1
18,8
89
1663
49
40,9
8,1
65,1
137685,5
0,4
90
1114
81
53,8
27,2
737,4
31662,6
982,2
91
863
61
59,7
1,3
1,6
183989,5
128,6
Сумма
64597,0
2483,0
2483,0
0,0
8515,6
4012624,8
10735,2
Среднее
1291,94
49,66
49,66
0,00
170,31
80252,50
214,70
Остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия:
.
Общая (полная) дисперсия результативного признака:
.
Значение коэффициента детерминации в случае парной линейной регрессии можно вычислить как квадрат коэффициента корреляции:
.
В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом:
.
Как видим, значения коэффициентов детерминации совпадают, что подтверждает правильность расчетов.
Коэффициент детерминации показывает, что 20,7% вариации результативного признака (дебиторская задолженность) объясняется изменением признака-фактора (собственных оборотных средств). Остальные 79,3% вариации складываются под воздействием иных причин, не рассматриваемых в модели.
3. Оценим качество уравнения с помощью F-критерия Фишера.
F-критерий Фишера заключается в следующем:
Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент детерминации равен 0, и уравнение регрессии статистически малозначимо и ненадежно. Альтернативная ей гипотеза будет заключаться в том, что коэффициент детерминации отличен от 0, т.е. связь между X и Y статистически значима, и уравнение регрессии качественно описывает эту взаимосвязь.
Вычисляется наблюдаемое значение критерия по формуле
.
Находим: .
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы , получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, а значит, нулевая гипотеза H0 о случайной природе полученного уравнения регрессии отвергается в пользу гипотезы H1, свидетельствующей в 95% случаев о его статистической значимости и существенности зависимости размера дебиторской задолженности от объема собственных оборотных средств.
4. Выполним прогноз.
Определим значение фактора X, которое составит 1,05 от среднего значения:
(млн. руб.)
Тогда находим прогнозное значение Y:
(млн. руб.)
Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле
.
(млн. руб.)
(млн. руб.)
При доверительной вероятности 95% t=1,96. Определим доверительный интервал прогноза:
Относительная погрешность: .
Вывод: если размер собственных оборотных средств предприятия составит 1356,54 млн. руб., дебиторская задолженность с вероятностью 95% будут находиться в пределах от 22,03 до 74,25 млн. руб. Отметим, что погрешность прогноза составила 54,2%, т.е. точность прогноза не высокая.
Задание № 2. Множественный регрессионный анализ
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.
Решение
1. Добавим в рассмотрение еще один признак – балансовую прибыль предприятия.
Таблица 2.1.
Исходные данные
№
Дебиторская задолженность, млн. руб. (Y)
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
42
33
2072
106
43
28
1178
120
44
58
1304
105
45
32
1308
114
46
58
1416
107
47
44
1185
115
48
68
1220
96
49
64
1311
104
50
25
1288
108
51
54
918
102
52
70
809
102
53
19
1188
120
54
28
1394
106
55
54
1435
114
56
48
1514
112
57
44
1577
112
58
39
1579
122
59
26
1210
122
60
58
1448
108
61
28
1468
114
62
47
1661
113
63
58
989
108
64
62
1007
102
65
62
1030
112
66
42
1099
113
67
67
1197
110
68
72
1386
107
69
45
1498
117
70
35
1672
120
71
69
484
93
72
62
1060
89
73
36
1612
118
74
42
1120
103
75
52
947
98
76
56
1102
95
77
66
1302
106
78
32
1477
123
79
68
820
110
80
47
1231
104
81
59
1311
103
82
29
1843
122
83
36
1215
114
84
57
1284
112
85
54
1336
115
86
60
1412
109
87
45
1447
108
88
54
1593
114
89
49
1663
107
90
81
1114
98
91
61
863
104
Сумма
2483
64597
5456
Составим матрицу парных коэффициентов корреляции. Для этого воспользуемся специальной функцией MS Excel: Сервис  Анализ данных  Корреляция (рис. 2.1.)
Рис. 2.1. Диалоговое окно «Корреляция»
Получим следующую таблицу (табл. 2.2):
Таблица 2.2.
Матрица парных коэффициентов корреляции
Дебиторская задолженность, млн. руб. (Y)
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
Дебиторская задолженность, млн. руб. (Y)
1
Собственные оборотные средства, млн.руб. (X1)
-0,455
1
Балансовая прибыль, млн.руб. (X2)
-0,644
0,505
1
Наиболее тесно связаны результативный признак Y (дебиторская задолженность) и признак-фактор X2 (балансовая прибыль), т.к. соответствующий коэффициент корреляции имеет наибольшее значение. Связь между дебиторской задолженностью и величиной собственных оборотных средств немного меньше. Связь дебиторской задолженностью с обоими признаками обратная, т.е. увеличению факторов соответствует сокращение результативного признака; по силе связь дебиторской задолженностью и собственных оборотных средств слабая, дебиторской задолженностью и балансовой прибыли –заметная.
Уравнение множественной регрессии будем искать в виде
.
Выбираем Сервис  Анализ данных  Регрессия (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Диалоговое окно «Регрессия»
Рис. 2.3. Вывод итогов
Получаем следующее уравнение:
.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении собственных оборотных средств предприятия на 1 млн. руб., дебиторская задолженность сокращаются в среднем на 0,009 млн.руб., при условии, что балансовая прибыль предприятия не изменяется.
Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении балансовой прибыли предприятия на 1 млн. руб., дебиторская задолженность сокращается в среднем на 1,036 млн.руб., при условии, что собственные оборотные средства предприятия остаются неизменными.
2. Для дальнейшего анализа понадобятся средние значения признаков, а также их средние квадратические отклонения.
Сервис  Анализ данных  Описательная статистика
Рис. 2.3. Диалоговое окно «Описательная статистика»
Получаем следующие результаты (табл. 2.3.):
Таблица 2.3.
Средние значения и средние квадратические отклонения
Y
 
X1
 
X2
 
Среднее
49,66
Среднее
1291,94
Среднее
109,12
Стандартное отклонение
14,65
Стандартное отклонение
283,29
Стандартное отклонение
7,87
Вычислим коэффициенты эластичности:
;
.
Коэффициенты эластичности оценивают влияние факторов на результат: при увеличении собственных оборотных средств предприятия на 1% от своего среднего значения, дебиторская задолженность сокращается на 0,235% от своего среднего значения; при увеличении балансовой прибыли предприятия на 1% от своего среднего значения, дебиторская задолженность предприятия сокращается на 2,276% от своего среднего значения.
3. Выполним расчет -коэффициентов, т.е. построим уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где , , - стандартизованные переменные.
.
Получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
.
Коэффициенты регрессии, эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии, соответствующие фактору X1 (собственные оборотные средства) отрицательные и имеют небольшое значение по модулю; аналогичные показатели, соответствующие фактору X2 (балансовой прибыли), имеют положительные значения и их величины существенны. Заметим также, что парный коэффициент корреляции между факторами X1 и X2, равный 0,505 больше, чем коэффициенты корреляции . Это говорит о наличии мультиколлинеарности в модели. Получается что, факторный признак X1 (собственные оборотные средства) влияет на величину фактора X2 (балансовая прибыль), а фактор X2 влияет на величину Y (дебиторскую задолженность). Между Y и X1 должна быть прямая зависимость, т.к. во-первых, коэффициент корреляции имеет отрицательное значение, а во-вторых, очевидно, что чем больше собственные оборотные средства предприятия, тем меньше должна быть величина дебиторская задолженность.
4. Парные коэффициенты корреляции были определены в п. 1:
; ; .
Вычислим множественный коэффициент детерминации:
.
Множественный коэффициент детерминации показывает, что вариация результативного признака Y на 43,7% объясняется изменением факторов X1 и X2. Остальные 56,3% вариации объясняются изменением факторов, которые в модели не рассматриваются.
Множественный коэффициент регрессии:
.
Сила связи результата с факторными признаками заметная, т.к. коэффициент регрессии находится в пределах от 0,5 до 0,7.
Вычислим частные коэффициенты корреляции:
;
.
Значения частных коэффициентов корреляции показывают, что при исключении из рассмотрения фактора X1 (т.е. при его постоянном и неизменном воздействии) связь результата Y с фактором X2 заметная, т.к. частный коэффициент корреляции находится в пределах от 0,5 до 0,7; связь результата Y с фактором X1 при исключении фактора X2 намного меньше, т.к. значение частного коэффициента корреляции близко к 0,2.
5. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. При использовании вкладки «Регрессия» были получены следующие результаты:
Таблица 2.4.
t-критерий Стьюдента
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
174,300051
22,7648467
7,656544025
X1
-0,008994529
0,006559136
-1,371297911
X2
-1,035737343
0,236238829
-4,384280713
По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и (m = 2 – количество факторных признаков в модели) степеням свободы находим критическую точку:
.
Расчетные значения t-статистик и больше критического значения, следовательно, коэффициенты , и статистически значимы, расчетные значения t-статистик больше критического значения, следовательно, коэффициент статистически не значим.
Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение F-статистики:
,
По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы и получаем .
Наблюдаемое значение F-критерия превышает табличное, т.к. 18,24 > 3,21. Поэтому делаем вывод о том, что в 95% случаев зависимость дебиторской задолженности от объема собственных оборотных средств и балансовой прибыли предприятия существенна. Уравнение множественной линейной регрессии качественно и адекватно характеризует взаимосвязь рассматриваемых признаков.
Задание № 3. Системы эконометрических уравнений
На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.
РЕШЕНИЕ
Вариант 83
y15
y21
y34
y2
y3
x1
x2
x3
y15
b21
b31
a11
a31
y1
y3
x1
x2
x3
y21
b12
b32
a32
y1
y2
x1
x2
x3
y34
b13
a13
a23
a33
Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:
Структурная форма модели:
В этой системе y1, y2, y3 - эндогенные переменные (K=3);
x1, x2, x3 - предопределенные переменные (M=3).
K-1=2; K+M=6.
Составим приведенную форму модели:
Проверим, как выполняется необходимое условие идентификации для каждого уравнения.
Для 1-ого уравнения имеем: k1=2; m1=2;
M-m1=1 > k1-1=1, следовательно, 1-ое уравнение точно идентифицированно.
Для 2-ого уравнения имеем: k2=2; m2=1;
M-m2=0 < k2-1=1, следовательно, 2-ое уравнение неидентифицированно.
Для 3-его уравнения имеем: k3=1; m3=3;
M-m3=2 > k3-1=0, следовательно, 3-е уравнение сверхидентифицированно.
Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).
Алгоритм КМНК включает 3 шага:
1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;
3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.
Задание № 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях.
На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:
1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.
4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.
РЕШЕНИЕ
Согласно варианту №83 требуется выбрать признак №6 (,алансовая прибыль, млн. руб.) и наблюдения №№ 3 – 14 (табл. 4.1.)
Таблица 4.1.
Исходные данные
Год
2002
2003
2004
2005
Квартал
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
хt
87
75
84
63
86
82
78
72
84
102
112
92
Построим коррелограмму, воспользовавшись функцией MS Excel КОРРЕЛ().
Таблица 4.2.
Коррелограмма
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
хt
75
84
63
86
82
78
72
84
102
112
92
rt,t-1=0,399
xt-1
87
75
84
63
86
82
78
72
84
102
112
хt
 
84
63
86
82
78
72
84
102
112
92
rt,t-2=0,161
хt-2
 
87
75
84
63
86
82
78
72
84
102
хt
 
 
63
86
82
78
72
84
102
112
92