6 задач по статистике, вариант 1

Задача 1.
Имеются следующие данные о сроке службы станков по пяти основным цехам промышленного предприятия.
Срок службы станков, лет Количество станков, шт.
Цех 1 Цех 2 Цех 3 Цех 4 Цех 5
До 5 12 4 2 7 6
5 – 10 18 6 8 14 10
10 – 15 15 20 11 16 18
15 и более 5 10 9 3 16
Определить по каждому цеху и по всем цехам вместе:
- средний срок службы станков, используя в качестве весов: а) абсолютные показатели (количество станков); б) относительные показатели структуры станков (проценты);
- размах вариации, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Задача 2
Имеются следующие данные по предприятию.
Шифр продукции Выпуск товарной продукции, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, р.
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
по плану фактически по плану фактическ ...

Задача 1.
Имеются следующие данные о сроке службы станков по пяти основным цехам промышленного предприятия.
Срок службы станков, лет Количество станков, шт.
Цех 1 Цех 2 Цех 3 Цех 4 Цех 5
До 5 12 4 2 7 6
5 – 10 18 6 8 14 10
10 – 15 15 20 11 16 18
15 и более 5 10 9 3 16
Определить по каждому цеху и по всем цехам вместе:
- средний срок службы станков, используя в качестве весов: а) абсолютные показатели (количество станков); б) относительные показатели структуры станков (проценты);
- размах вариации, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Задача 2
Имеются следующие данные по предприятию.
Шифр продукции Выпуск товарной продукции, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, р.
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
по плану фактически по плану фактически
А 50 60 65 12,5 12,25 12,1
Б 80 85 90 16,5 16,4 16,2
В 70 5,5
Г 100 120 13,5 13,75
Определить:
- индексы себестоимости сравниваемой товарной продукции (плановый, отчетный, выполнения плана);
- суммы экономии от снижения себестоимости сравниваемой продукции (установленную планом, фактическую и сверхплановую).
Пояснить полученные результаты.

Задача 3
Имеются данные по 25 предприятиям отрасли.
Номер предприятия Среднесписочное число рабочих, чел. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс . р. Товарная продукция, тыс. р.
1 280 65 70
2 480 105 240
3 420 110 185
4 503 140 305
5 710 190 470
6 1020 275 480
7 490 90 105
8 500 95 130
9 620 215 225
10 990 280 420
11 930 315 485
12 430 80 115
13 560 305 170
14 610 140 315
15 910 390 490
16 740 210 365
17 390 70 90
18 430 90 130
19 510 110 240
20 1250 495 805
21 340 50 65
22 390 80 115
23 250 50 65
24 960 105 145
25 490 105 170
Выявить характер зависимости между изменением численности рабочих и выпуском продукции, применяя метод аналитической группировки. При группировке по факторному признаку образовать четыре группы предприятий с равными интервалами. Результаты представить в таблице.
По данным аналитической группировки измерить тесноту связи между выпуском продукции на предприятии и численностью рабочих, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделать выводы.

Задача 4
Имеются следующие данные о производстве продукции промышленным предприятием за 2002- 2007 гг. (в сопоставимых ценах, млн. руб.)
Год 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Объем выпуска, млн. р. 65,3 70,8 76,3 80,2 85,0 91,0
Для анализа ряда динамики определить для каждого года: цепные и базисные (по отношению к 2002 году) абсолютные приросты, цепные и базисные темпы роста, цепные и базисные темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста.
Рассчитать: среднюю хронологическую ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста; среднее значение одного процента прироста.
Представить полученные данные в табличной форме, сделать выводы.

Задача 5
Имеются следующие данные по группе рабочих предприятия.
Стаж работы, лет 5,0 6,0 6,5 7,0 8,0
Выработка продукции на одного рабочего, шт. 25 28 31 35 40
Найти уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии) между стажем работы и выработкой продукции (связь в виде параболы). Исходные данные и теоретическую зависимость представить на графике. Определить среднюю ошибку аппроксимации.
Рассчитать индексы детерминации и корреляции. Сделать выводы.

Задача 6.
В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. Для изучения квалификации рабочих была проведена 20%-ая бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. В результате обследования получены следующие данные.
Номер бригады Разряды рабочих
1 2 6 4 5 2 6 5 4 5 6
2 1 2 4 1 2 6 5 3 5 6
Определить: с вероятностью 0,954 среднюю ошибку и границы, в которых находится средний разряд рабочих цеха; с вероятностью 0,997 пределы удельного веса рабочих, имеющих 5-й и 6-й разряды в общей численности рабочих цеха; количество бригад, которое необходимо обследовать для установления среднего разряда, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала одного разряда.

Задача 1.
Имеются следующие данные о сроке службы станков по пяти основным цехам промышленного предприятия.
Срок службы станков, лет Количество станков, шт.
Цех 1 Цех 2 Цех 3 Цех 4 Цех 5
До 5 12 4 2 7 6
5 – 10 18 6 8 14 10
10 – 15 15 20 11 16 18
15 и более 5 10 9 3 16
Определить по каждому цеху и по всем цехам вместе:
- средний срок службы станков, используя в качестве весов: а) абсолютные показатели (количество станков); б) относительные показатели структуры станков (проценты);
- размах вариации, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Задача 2
Имеются следующие данные по предприятию.
Шифр продукции Выпуск товарной продукции, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, р.
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
по плану фактически по плану фактическ и
А 50 60 65 12,5 12,25 12,1
Б 80 85 90 16,5 16,4 16,2
В 70 5,5
Г 100 120 13,5 13,75
Определить:
- индексы себестоимости сравниваемой товарной продукции (плановый, отчетный, выполнения плана);
- суммы экономии от снижения себестоимости сравниваемой продукции (установленную планом, фактическую и сверхплановую).
Пояснить полученные результаты.

Задача 3
Имеются данные по 25 предприятиям отрасли.
Номер предприятия Среднесписочное число рабочих, чел. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс . р. Товарная продукция, тыс. р.
1 280 65 70
2 480 105 240
3 420 110 185
4 503 140 305
5 710 190 470
6 1020 275 480
7 490 90 105
8 500 95 130
9 620 215 225
10 990 280 420
11 930 315 485
12 430 80 115
13 560 305 170
14 610 140 315
15 910 390 490
16 740 210 365
17 390 70 90
18 430 90 130
19 510 110 240
20 1250 495 805
21 340 50 65
22 390 80 115
23 250 50 65
24 960 105 145
25 490 105 170
Выявить характер зависимости между изменением численности рабочих и выпуском продукции, применяя метод аналитической группировки. При группировке по факторному признаку образовать четыре группы предприятий с равными интервалами. Результаты представить в таблице.
По данным аналитической группировки измерить тесноту связи между выпуском продукции на предприятии и численностью рабочих, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделать выводы.

Задача 4
Имеются следующие данные о производстве продукции промышленным предприятием за 2002- 2007 гг. (в сопоставимых ценах, млн. руб.)
Год 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Объем выпуска, млн. р. 65,3 70,8 76,3 80,2 85,0 91,0
Для анализа ряда динамики определить для каждого года: цепные и базисные (по отношению к 2002 году) абсолютные приросты, цепные и базисные темпы роста, цепные и базисные темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста.
Рассчитать: среднюю хронологическую ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста; среднее значение одного процента прироста.
Представить полученные данные в табличной форме, сделать выводы.

Задача 5
Имеются следующие данные по группе рабочих предприятия.
Стаж работы, лет 5,0 6,0 6,5 7,0 8,0
Выработка продукции на одного рабочего, шт. 25 28 31 35 40
Найти уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии) между стажем работы и выработкой продукции (связь в виде параболы). Исходные данные и теоретическую зависимость представить на графике. Определить среднюю ошибку аппроксимации.
Рассчитать индексы детерминации и корреляции. Сделать выводы.

Задача 6.
В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. Для изучения квалификации рабочих была проведена 20%-ая бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. В результате обследования получены следующие данные.
Номер бригады Разряды рабочих
1 2 6 4 5 2 6 5 4 5 6
2 1 2 4 1 2 6 5 3 5 6
Определить: с вероятностью 0,954 среднюю ошибку и границы, в которых находится средний разряд рабочих цеха; с вероятностью 0,997 пределы удельного веса рабочих, имеющих 5-й и 6-й разряды в общей численности рабочих цеха; количество бригад, которое необходимо обследовать для установления среднего разряда, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала одного разряда.

Товарная продукция, тыс. р.
1
280
65
70
2
480
105
240
3
420
110
185
4
503
140
305
5
710
190
470
6
1020
275
480
7
490
90
105
8
500
95
130
9
620
215
225
10
990
280
420
11
930
315
485
12
430
80
115
13
560
305
170
14
610
140
315
15
910
390
490
16
740
210
365
17
390
70
90
18
430
90
130
19
510
110
240
20
1250
495
805
21
340
50
65
22
390
80
115
23
250
50
65
24
960
105
145
25
490
105
170
Выявить характер зависимости между изменением численности рабочих и выпуском продукции, применяя метод аналитической группировки. При группировке по факторному признаку образовать четыре группы предприятий с равными интервалами. Результаты представить в таблице.
По данным аналитической группировки измерить теснотусвязи между выпуском продукции на предприятии и численностью рабочих, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделать выводы.
Решение:
При использовании метода аналитической группировки строим интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяем среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя разработочную исходную таблицу, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – численностью рабочих и результативным признаком Y – товарной продукции.
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяем по формуле:
,
где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.
Определение величины интервала по формуле при заданных k = 4, xmax = 1250 чел., xmin = 250 чел.:
чел.
Построим аналитическую таблицу:
Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений
Номер группы
Группы предприятий по числу рабочих, чел.
Число предприятий
Товарная продукция, тыс. р.
всего
в среднем на одно предприятие
1
250-500
11
1350
122,73
2
500-750
8
2220
277,5
3
750-1000
4
1540
385
4
1000-1250
2
1285
642,5
Итого
25
6395
255,8
Анализ данных таблицы показывает, что с увеличением числа рабочих от группы к группе систематически возрастает и средняя товарная продукция по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.
Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .
Эмпирический коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле
,
где – общая дисперсия признака Y,
– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.
Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле
,
где yi – индивидуальные значения результативного признака;
– общая средняя значений результативного признака;
n – число единиц совокупности.
Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Расчет по формуле:
тыс. руб.
Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица.
Номер
предприятия
п/п
Товарная продукция, тыс. р.
1
70
-185,8
34521,64
4900
2
240
-15,8
249,64
57600
3
185
-70,8
5012,64
34225
4
305
49,2
2420,64
93025
5
470
214,2
45881,64
220900
6
480
224,2
50265,64
230400
7
105
-150,8
22740,64
11025
8
130
-125,8
15825,64
16900
9
225
-30,8
948,64
50625
10
420
164,2
26961,64
176400
11
485
229,2
52532,64
235225
12
115
-140,8
19824,64
13225
13
170
-85,8
7361,64
28900
14
315
59,2
3504,64
99225
15
490
234,2
54849,64
240100
16
365
109,2
11924,64
133225
17
90
-165,8
27489,64
8100
18
130
-125,8
15825,64
16900
19
240
-15,8
249,64
57600
20
805
549,2
301620,6
648025
21
65
-190,8
36404,64
4225
22
115
-140,8
19824,64
13225
23
65
-190,8
36404,64
4225
24
145
-110,8
12276,64
21025
25
170
-85,8
7361,64
28900
Итого
6395
812284
2448125
Расчет общей дисперсии по формуле:
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле
,
где –групповые средние,
– общая средняя,
–число единиц в j-ой группе,
k – число групп.
Для расчета межгрупповой дисперсии строим вспомогательную таблицу. При этом используются групповые средние значения .
Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии
Группы предприятий по числу рабочих, чел.
Число предприятий,
Среднее значение в группе
250 – 500
11
122,73
-133,07
194783,9
500 – 750
8
277,5
21,7
3767,12
750 – 1000
4
385
129,2
66770,56
1000 - 1250
2
642,5
386,7
299073,8
Итого
25
255,8
564395,3
Расчет межгрупповой дисперсии по формуле:
Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле:
или 69,5%
69,5% вариации объема товарной продукции предприятий обусловлено вариацией числа рабочих, а 30,5% – влиянием прочих неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока:
Шкала Чэддока

0,1 – 0,3
0,3 – 0,5
0,5 – 0,7
0,7 – 0,9
0,9 – 0,99
Характеристика
силы связи
Слабая
Умеренная
Заметная
Тесная
Весьма тесная
Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле:
или 83,4%
Согласно шкале Чэддока связь между объемом товарной продукции и числом рабочих является тесной.
Задача 4
Имеются следующие данные о производстве продукции промышленным предприятием за 2002- 2007 гг. (в сопоставимых ценах, млн. руб.)
Год
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Объем выпуска, млн. р.
65,3
70,8
76,3
80,2
85,0
91,0
Для анализа ряда динамики определить для каждого года: цепные и базисные (по отношению к 2002 году) абсолютные приросты, цепные и базисные темпы роста, цепные и базисные темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста.
Рассчитать: среднюю хронологическую ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста; среднее значение одного процента прироста.
Представить полученные данные в табличной форме, сделать выводы.
Решение:
Для анализа ряда динамики определим для каждого года: цепные и базисные (по отношению к 2002 году) абсолютные приросты, цепные и базисные темпы роста, цепные и базисные темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Расчет показателей произведем по формулам:
Показатель
Метод расчета
С переменной базой (цепные)
С постоянной базой (базисные)
Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа)
Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода)
Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста)
Расчет представим в таблице:
Год
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Объем выпуска, млн. р.
65,3
70,8
76,3
80,2
85
91
Абсолютный прирост
цепной
-
5,5
5,5
3,9
4,8
6
базисный
-
5,5
11
14,9
19,7
25,7
Темп роста
цепной
-
108,4
107,8
105,1
106,0
107,1
базисный
-
108,4
116,8
122,8
130,2
139,4
Темп прироста
цепной
-
8,4
7,8
5,1
6,0
7,1
базисный