мат. анализ и линейная алгебра

решение задач по мат. анализу и линейной алгебре ...

задача 1
задача 2
задача 3
задача 4
задача 5
задача 6
задача 7

решение задач по мат. анализу и линейной алгебре

Исследовать несобственные интегралы на сходимость и найти их значения в случае сходимости.а) 1∞dxx3Z=1∞dxx3=1∞dxx32=1-32+1x-32+11∞=-132-1limx→∞1x32+1+132-1=132-1=112=23/2>1 следовательноlimx→∞1x32+1=0Значит интеграл сходится и имеет значение Z=2.б) 12dx3x-1Z=12dx3x-1=12dxx-113=12x-1-13dx-1=x-1-13+1-13+112=1231-0=32∙1=1,5 Следовательно сходится.Задание 5. Дана функция , точка А(1;0) и вектор =(3,-4). Найти полный дифференциал функции, градиент функции в точке А и производную функции z(x,y) по направлению в точке А.полный дифференциал функции:dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy (1)найдем частные производные:∂z∂x=∂∂xlnx+2y=1x+2y∂z∂y=∂∂ylnx+2y=1x+2y∙2yy'=2x+2yСледовательно, полный дифференциал:dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy =1x+2ydx+2x+2ydy=1x+2y(dx+2dy)Градиент функции z(x,y):gradz=∂z∂xi+∂z∂yj (2)Подставляем выражения полученные для частных производных в (2):gradz=1x+2yi+2x+2yjgradz в точке А(1,0):gradzА=11+2∙0i+21+2∙0j=i+2jМодуль вектора i:i=x2+y2=32+-42=9+16=25=5Направляющие углы :cosα=xi=35cosβ=yi=-45Производная в точке А(1,0) по направлению i :∂z∂i=∂z∂xAcosα+∂z∂yAcosβ=1∙35+2∙-45=35-85=3-85=-55=-1Задание 6. Даны две системы векторов1(1,0,1), 2(2,1,0), 3(4,1,2);1(-1,3,0), 2(2,1,1), 3(1,0,1). Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора (2,11,3) в этом базисе с помощью формул Крамера.Для системы векторов а :A=101210412Из 2-ой строки вычем 1-ую, умноженную на -2, из 3-ей строки вычем 1-ую, умноженную на -4:10121-201-2Вторая и третья строка линейно зависимы, т.е. вектор а2 и вектор а3 линейно зависимы. Следовательно, они не образуют базис.B=-130211101Из 2-ой строки вычем 1-ую, умноженную на 2, из 3-ей строки вычем 1-ую:-1300-510-31 вычтем из 3-ей строки, умноженную на -5, 2-ую строку, умноженную на -3:-130015-3015-5-130015-300-2Получается ранг системы 3. И векторы b1, b2,b3 линейно независимы. Они образуют базис.Найдем координаты вектора (2,11,3) в этом базисе с помощью формул Крамера.