6 задач по статистике, вариант 15

Задача 1
Используя газету «Из рук в руки. Средства транспорта» или сайты о продаже автомобилей за последние три месяца, провести выборочное наблюдение 50 предлагаемых на продажу автомобилей. Марка автомобиля выбирается из таблицы по номеру варианта, который соответствует номеру студента в списке учебной группы:
№ варианта Марка автомобиля
15 Мицубиси-Лансер
Исследуемые признаки:
Y – цена автомобиля, тыс. руб.; Х1 – время эксплуатации, лет; Х2 – пробег, тыс. км.

Задача 2
Для выявления зависимости результативного признака Y от факторных признаков Х1 и Х2 провести аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу, выделив три группы с равными интервалами.
На основании выполненных группировок построить групповые таблицы и вычислить эмпирические корреляционные ...

Задача 1
Используя газету «Из рук в руки. Средства транспорта» или сайты о продаже автомобилей за последние три месяца, провести выборочное наблюдение 50 предлагаемых на продажу автомобилей. Марка автомобиля выбирается из таблицы по номеру варианта, который соответствует номеру студента в списке учебной группы:
№ варианта Марка автомобиля
15 Мицубиси-Лансер
Исследуемые признаки:
Y – цена автомобиля, тыс. руб.; Х1 – время эксплуатации, лет; Х2 – пробег, тыс. км.

Задача 2
Для выявления зависимости результативного признака Y от факторных признаков Х1 и Х2 провести аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу, выделив три группы с равными интервалами.
На основании выполненных группировок построить групповые таблицы и вычислить эмпирические корреляционныеотношения.

Задача 3
Исследовать статистическое распределение результативного признака Y с помощью интервального вариационного ряда, для чего:
- построить интервальный ряд:
- дать его графическое изображение (гистограмму и кумуляту);
- вычислить показатели центра (среднюю, моду и медиану), вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации) и формы (коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Задача 4
Проверить с помощью критерия согласия χ2 Пирсона соответствие эмпирического распределения результативного признака Yна уровне значимости α = 0,05. АЛЬФА=0,95

Задача 5
На основании данных выборочного наблюдения:
- определить доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, гарантируя результат с вероятностью 0,9 и 0,95;
- оценить необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб.
- определить вероятность того, что средняя цена всех автомобилей данной марки отличается от средней цены полученной по выборки не более чем на 10 тыс. руб.

Задача 6
На основании данных выборочного наблюдения:
- составить уравнение множественной регрессии результативного признака Y, обосновав систему факторов, включенных в модель;
- определить множественный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции;
- сопоставить роль факторных признаков Х1 и Х2 в формировании результативного признака Y, вычислив коэффициенты эластичности.

Задача 1
Используя газету «Из рук в руки. Средства транспорта» или сайты о продаже автомобилей за последние три месяца, провести выборочное наблюдение 50 предлагаемых на продажу автомобилей. Марка автомобиля выбирается из таблицы по номеру варианта, который соответствует номеру студента в списке учебной группы:
№ варианта Марка автомобиля
15 Мицубиси-Лансер
Исследуемые признаки:
Y – цена автомобиля, тыс. руб.; Х1 – время эксплуатации, лет; Х2 – пробег, тыс. км.

Задача 2
Для выявления зависимости результативного признака Y от факторных признаков Х1 и Х2 провести аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу, выделив три группы с равными интервалами.
На основании выполненных группировок построить групповые таблицы и вычислить эмпирические корреляционные отношения.

Задача 3
Исследовать статистическое распределение результативного признака Y с помощью интервального вариационного ряда, для чего:
- построить интервальный ряд:
- дать его графическое изображение (гистограмму и кумуляту);
- вычислить показатели центра (среднюю, моду и медиану), вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации) и формы (коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Задача 4
Проверить с помощью критерия согласия χ2 Пирсона соответствие эмпирического распределения результативного признака Yна уровне значимости α = 0,05. АЛЬФА=0,95

Задача 5
На основании данных выборочного наблюдения:
- определить доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, гарантируя результат с вероятностью 0,9 и 0,95;
- оценить необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб.
- определить вероятность того, что средняя цена всех автомобилей данной марки отличается от средней цены полученной по выборки не более чем на 10 тыс. руб.

Задача 6
На основании данных выборочного наблюдения:
- составить уравнение множественной регрессии результативного признака Y, обосновав систему факторов, включенных в модель;
- определить множественный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции;
- сопоставить роль факторных признаков Х1 и Х2 в формировании результативного признака Y, вычислив коэффициенты эластичности.

Sj
Накопленная
частоcть, %
в абсолютном выражении
в % к итогу
1
2
3
4
5
6
1
97,27-151,65
9
0,18
9
0,18
2
151,65-206,02
9
0,18
18
0,36
3
206,02-260,39
7
0,14
25
0,5
4
260,39-314,76
11
0,22
36
0,72
5
314,76-369,13
6
0,12
42
0,84
6
369,13-423,5
8
0,16
50
1
Итого
50
1
Построим гистограмму и кумуляту.
Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:
где хМo – нижняя граница модального интервала,
h –величина модального интервала,
fMo – частота модального интервала,
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Согласно табл. модальным интервалом построенного ряда является интервал 260,39-314,76 тыс руб., так как его частота максимальна (f4 = 11).
Расчет моды по формуле:
т.р.
Для рассматриваемой совокупности наиболее распространенный уровень цен характеризуется средней величиной 284,55 тыс. руб.
Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:
,
где хМе– нижняя граница медианного интервала,
h – величина медианного интервала,
– сумма всех частот,
fМе – частота медианного интервала,
SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты. Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).
В нашем примере медианным интервалом является интервал 260,39-314,76 тыс. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 36 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).
Расчет значения медианы по формуле:
т.р.
В рассматриваемой совокупности половина автомобилей имеют в среднем уровень цен не более 260,39 тыс. руб., а другая половина – не менее 260,39 тыс. руб.
Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσ строится вспомогательная табл. ( – середина j-го интервала).
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Группы авто по цене, руб.
Сере-дина интер-вала,
Число авто,
fj
1
2
3
4
5
6
7
7
97,27-151,65
124,5
9
1120,136
-140,8
178421,8
-25121784
3537147160
151,65-206,02
183,1
9
1648,136
-82,1
60712,96
-4986558
409562612
206,02-260,39
241,8
7
1692,5
-23,5
3854,791
-90459,1
2122773,5
260,39-314,76
300,5
11
3305,1
35,2
13629,44
479756,29
16887421,3
314,76-369,13
359,1
6
2154,757
93,9
52865,71
4962327,7
465797157
369,13-423,5
417,8
8
3342,343
152,5
186131,3
28391234
4330609570
Всего
50
13262,98
495616
3634517,3
8762126694
Расчет средней арифметической взвешенной:
тыс. руб.
Расчет дисперсии:

Расчет среднего квадратического отклонения:
тыс.р.
Расчет коэффициента вариации:

,
- центральный момент третьего порядка
Средняя квадратическая ошибка: , n – число наблюдений
Так как, , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
, - центральный момент четвертого порядка
Так как, < 0 – распределение низковершинное.
Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний уровень цен составляет 265,26 тыс. руб., отклонение от среднего в ту или иную сторону составляет в среднем 99,56 тыс. руб. (или 37,5%).
Значение Vσ = 37,5% превышает 33%, следовательно, вариация в исследуемой совокупности значительна и совокупность по данному признаку качественно неоднородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме значительно, что подтверждает вывод о неоднородности совокупности. Таким образом, найденное среднее значение цены автомобиля (265,26 тыс. руб.) не является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности.
4. Проверить с помощью критерия согласия χ2 Пирсона соответствие эмпирического распределения результативного признака Yна уровне значимости α = 0,05. АЛЬФА=0,95
Выполнение:
Проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона.
при α=0,05; k=6-2-1=3.
Таблица для расчета
№
Интервалы
Частота
1
97,27-151,65
9
0,0816
4,08
5,93
2
151,65-206,02
9
0,1472
7,36
0,37
3
206,02-260,39
7
0,2058
10,29
1,05
4
260,39-314,76
11
0,2114
10,57
0,02
5
314,76-369,13
6
0,1593
7,965
0,48
6
369,13-423,5
8
0,0933
4,665
2,38
50
10,24
.
Таким образом, , т.е. при α=0,05 выдвигаемая гипотеза отвергается с уровнем значимости α=0,05.
5. На основании данных выборочного наблюдения:
- определить доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, гарантируя результат с вероятностью 0,9 и 0,95;
- оценить необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб.
- определить вероятность того, что средняя цена всех автомобилей данной марки отличается от средней цены полученной по выборки не более чем на 10 тыс. руб.
Выполнение:
Доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, имеет вид: , где - предельная ошибка, которую определим по формуле:
, где t – критерий Стьюдента, при вероятности 0,9 он равен 1,68, а при 0,95 – 2,00.
Получаем:
тыс.руб.
( тыс.руб.)
Таким образом, с вероятностью 0,9 средняя цена находится от 241,61 тыс.руб. до 288,91 тыс. руб.
Получаем:
тыс.руб.
( тыс.руб.)
Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя цена находится от 237,1 тыс.руб. до 293,42 тыс.руб.
Оценим необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб. по формуле:
.
Получаем: единиц.
Необходимая численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб. должна составлять 397 единицы.
Определим вероятность того, что средняя цена всех автомобилей данной марки отличается от средней цены полученной по выборки не более чем на 10 тыс. руб., т.е. . По таблице Стьюдента находим, что данное значение соответствует вероятности 0,52 или 52%.
6. На основании данных выборочного наблюдения:
- составить уравнение множественной регрессии результативного признака Y, обосновав систему факторов, включенных в модель;
- определить множественный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции;
- сопоставить роль факторных признаков Х1 и Х2 в формировании результативного признака Y, вычислив коэффициенты эластичности.
Выполнение:
Нахождение уравнения множественной регрессии. Если необходимо определить влияние нескольких факторов на результативный признак, то строится модель множественной регрессии:
В случае трехмерного распределения уравнение регрессии будет следующим:
параметры уравнения можно найти на основе симплекс-метода, или:
где r – коэффициент корреляции;
x, y – значения изучаемых признаков;
– средние величины по каждому признаку;
– средняя величина произведения признаков x и y;
n – численность ряда.
Построим таблицу:
 №
у
х1
х2
у х1
у х2
х2 х2
 
1
196,72
4,01
3
789,7
590,15
12,04
16,12
9
11,69
2,69
2
103,93
14,15
12
1470,6
1247,15
169,80
200,22
144
45,12
54,17
3
273,96
3,57
4
978,1
1095,84
14,28
12,75
16
14,92
0,41
4
349,23
7,28
1
2540,9
349,23
7,28
52,93
1
0,02
13,25
5
285,32
7,00
2
1997,3
570,65
14,00
49,00
4
0,19
6,97
6
297,82
15,01
3
4470,2
893,45
45,03
225,30
9
57,41
2,69
7
354,07
3,88
1
1373,4
354,07
3,88
15,05
1
12,63
13,25
8
178,95
4,84
5
865,5
894,76
24,18
23,39
25
6,74
0,13
9
148,02
11,00
6
1628,3
888,14
66,00
121,00
36
12,72
1,85
10
317,74
9,51
5
3021,7
1588,72
47,55
90,44
25
4,31
0,13
11
423,50
5,88
1
2491,0
423,50
5,88
34,60
1
2,41
13,25
12
283,39
3,73
3
1057,6
850,16
11,20
13,93
9
13,70
2,69
13
279,96
5,00
7
1399,6
1959,72
35,00
24,99
49
5,92
5,57
14
271,12
4,67
4
1267,4
1084,49
18,70
21,85
16
7,61
0,41
15
152,20
15,58
8
2371,3
1217,61
124,64
242,74
64
66,37
11,29
16
312,49
3,79
4
1185,2
1249,96
15,17
14,38
16
13,25
0,41
17
188,79
5,55
4
1048,3
755,16
22,21
30,83
16
3,54
0,41
18
120,24
5,00
10
601,2
1202,43
50,00
25,00
100
5,92
28,73
19
190,60
6,81
4
1297,5
762,42
27,23
46,34
16
0,39
0,41
20
287,61
4,79
1
1378,7
287,61
4,79
22,98
1
6,97
13,25
21
257,91
6,00
6
1547,4
1547,44
36,00
36,00
36
2,05
1,85
22
131,20
14,62
9
1918,0
1180,78
131,57
213,73
81
51,64
19,01
23
321,48
4,80
1
1542,5
321,48
4,80
23,02
1
6,94
13,25
24
229,99
15,25
5
3507,3
1149,93
76,25
232,56
25
61,10
0,13
25
191,21
15,17
3
2900,7
573,64
45,51
230,13
9
59,86
2,69
26
262,89
3,59
4
943,3
1051,56
14,35
12,87
16
14,78
0,41
27
377,29
3,70
7
1396,2
2641,04
25,90
13,69
49
13,93
5,57
28
163,05
12,03
7
1962,0
1141,36
84,23
144,80
49
21,16
5,57
29
376,22
5,62
2
2112,5
752,43
11,23
31,53
4
3,31
6,97